LIMIT DAN KONTINUITAS
LIMIT DAN KONTINUITAS
Definisi : Fungsi f(x) dikatakan mempunyai limit L untuk x ⟶ xo bila untuk setiap
bilangan positif ε yang diberikan,
terdapatlah bilangan positif δ sedemikian hingga untuk semua nilai x dimana 0
< |x ⟶ x0| < δ berlaku |f(x) ⟶ L| < ε
Pernyataan 0 < |x ⟶ x0| < δ berarti x berada
diantara (x0 – δ) dan (x0 + δ) atau (x0 – δ)
< x < (x0 + δ). Dalam hal δ cukup kecil maka x sangat
mendekati x0 (x ⟶ x0 berarti x ≠ x0).
diantara (x0 – δ) dan (x0 + δ) atau (x0 – δ)
< x < (x0 + δ). Dalam hal δ cukup kecil maka x sangat
mendekati x0 (x ⟶ x0 berarti x ≠ x0).
Arti geometris definisi
limit dalam kalimat sederhananya adalah Fungsi f(x) dikatakan mempunyai nilai mendekati L untuk x mendekati x0
bila dan hanya bila setiap kali ditetapkan nilai ε positif kecil, selalu dapat ditemukan nilai δ
sedemikian hingga selisih harga antara
f(x) dan L selalu lebih kecil dari ε bila
jarak antara x dan x0 kurang dari δ.
limit dalam kalimat sederhananya adalah Fungsi f(x) dikatakan mempunyai nilai mendekati L untuk x mendekati x0
bila dan hanya bila setiap kali ditetapkan nilai ε positif kecil, selalu dapat ditemukan nilai δ
sedemikian hingga selisih harga antara
f(x) dan L selalu lebih kecil dari ε bila
jarak antara x dan x0 kurang dari δ.
Contoh
1: Dengan menggunakan
definisi limit, tunjukkan bahwa
1: Dengan menggunakan
definisi limit, tunjukkan bahwa
Jawab :
Ambil sebarang bilangan
ε positif, akan kita tunjukkan bilangan δ positif sedemikian hingga
apabila 0 < |x – 1| < δ maka |(x2
+ 3) – 4)| < ε.
ε positif, akan kita tunjukkan bilangan δ positif sedemikian hingga
apabila 0 < |x – 1| < δ maka |(x2
+ 3) – 4)| < ε.
F(x) = (x2 +
3), L = 4 mulai dari |f(x) – L| < ε
3), L = 4 mulai dari |f(x) – L| < ε
|(x2 + 3) –
4)| = |x2 – 1|
4)| = |x2 – 1|
= |(x2 – 2x + 1) + (2x – 2)|
= |(x – 1)2 + 2(x – 1)|
≤ |x – 1|2 + 2|x – 1| (sifat harga
mutlak) sifat |x|2 = x2
mutlak) sifat |x|2 = x2
< δ2 + 2δ (karena |x – 1| <
δ)
δ)
< δ + 2δ (karena δ kecil, maka δ2
< δ)
< δ)
< 3δ = 3 x 
= ε.
= ε.
Maka dengan mengambil δ
< artinya untuk setiap
nilai ε positif selalu dapat ditemukan δ positif (yakni <) maka terbukti bahwa apabila 0 < |x – 1| < δ maka |(x2
+ 3) – 4)| < ε.
<
artinya untuk setiapnilai ε positif selalu dapat ditemukan δ positif (yakni <
) maka terbukti bahwa apabila 0 < |x – 1| < δ maka |(x2+ 3) – 4)| < ε.
Contoh
2 : Buktikanlah
2 : Buktikanlah
Jawab :
Akan dibuktikan Û (⩝ ε > 0)($δ > 0) $⩝x,
|x – 2| <δ sehingga |3x – 6| < ε
Û (⩝ ε > 0)($δ > 0) $⩝x,|x – 2| <δ sehingga |3x – 6| < ε
Ambil sebarang ε > 0
maka
maka
|3x – 6| = |3(x – 2)|
= |3||x – 2|
= 3 |x – 2| < δ
= 3 δ karena δ = maka 3 . = ε
maka 3 . = ε
Pilih δ = positif akibatnya ⩝x, |x – 2| < 2 berlaku
positif akibatnya ⩝x, |x – 2| < 2 berlaku
|3x – 6| = 3 |x – 2|
< 3 δ = 3 . = ε ⟶ |3x – 6| < ε
= ε ⟶ |3x – 6| < ε
Maka dengan mengambil δ
< artinya untuk setiap
nilai ε positif selalu dapat ditemukan δ positif (yakni <) maka terbukti bahwa apabila 0 < |3x – 6| < δ maka |(3x
– 6)| < ε.
<
artinya untuk setiapnilai ε positif selalu dapat ditemukan δ positif (yakni <
) maka terbukti bahwa apabila 0 < |3x – 6| < δ maka |(3x– 6)| < ε.
Contoh
3 : Buktikanlah
3 : Buktikanlah
Jawab :
Untuk setiap harga ε
positif (ε > 0) harus dapat ditemukan δ positif sedemikian hingga apabila
positif (ε > 0) harus dapat ditemukan δ positif sedemikian hingga apabila
0 < |x – 1| < δ
maka |f(x) – L| < ε atau |x2 – 3x + 1) – 1| < ε
maka |f(x) – L| < ε atau |x2 – 3x + 1) – 1| < ε
|x2 – 3x +
1) – 1| = |x2 + 3x|
1) – 1| = |x2 + 3x|
≤
|x2| + 3|x|
|x2| + 3|x|
< δ2 + 3δ karena δ2 < δ
< δ + 3δ
< 4δ
Maka ambil sebarang δ
<
artinya untuk setiap
nilai ε positif selalu dapat ditemukan δ positif (yakni <) maka terbukti bahwa apabila 0 < |x – 1| < δ maka
|f(x) – L| < ε atau |x2 – 3x + 1) – 1| < ε.
<
artinya untuk setiapnilai ε positif selalu dapat ditemukan δ positif (yakni <
) maka terbukti bahwa apabila 0 < |x – 1| < δ maka|f(x) – L| < ε atau |x2 – 3x + 1) – 1| < ε.
Contoh
4 : Buktikanlah
4 : Buktikanlah
Jawab :
Dibuktikan mahasiswa
sebagai latihan
sebagai latihan
Contoh
5 : Buktikanlah
5 : Buktikanlah
Jawab:
Dibuktikan mahasiswa
sebagai latihan
sebagai latihan
Sifat – Sifat Limit Fungsi
1. 
, k konstanta
, k konstanta
2. 
3. 
dimana k = konstanta
dimana k = konstanta
4. Jika 
dan 
maka
dan maka
= 
= 
= AxB
, B ≠ 0
asal 
Contoh
1 :
1 :
Jawab :
=
– 
= 2 
–
–
= 2 . 0 – 1
= – 1
Contoh
2 : Hitunglah
= 
, dimana sifat 4c tidak dapat digunakan
2 : Hitunglah
= , dimana sifat 4c tidak dapat digunakan
Jawab:
= 
= 
= x + 3
= 3 + 3 = 6
Contoh
3 : Hitunglah
kalau x = 2 dimasukkan maka nilainya jadi (
)
3 : Hitunglah
kalau x = 2 dimasukkan maka nilainya jadi ()
Jawab:
= x 
= 
= 
= 
=
3 +
3 +
= 3 + 3 = 6
Contoh
4 : Hitunglah
kalau nilai x = ∞
dimasukkan maka nilainya jadi (
)
4 : Hitunglah
kalau nilai x = ∞dimasukkan maka nilainya jadi (
)
Jawab:
= 
= 
= 
Contoh
5 : Diketahui f(x) = 2log
x dan g(x) = arc cos x. Tentukanlah (fog)-1 dan (gof)-1 ?
5 : Diketahui f(x) = 2log
x dan g(x) = arc cos x. Tentukanlah (fog)-1 dan (gof)-1 ?
Jawab :
Dibuktikan mahasiswa
sebagai latihan
sebagai latihan
Contoh
6 : Hitunglah
6 : Hitunglah
a. 
b. 
Limit Kiri dan Limit Kanan
1. Limit Kiri (Kurang dari atau x ⟶a–
)
)
Notasi : 
atau 
atau
Definisi : 
Û (⩝ε > 0)($δ > 0) $⩝x,
-δ < x – x0 < 0 Þ |f(x) – L| <
ε
Û (⩝ε > 0)($δ > 0) $⩝x,-δ < x – x0 < 0 Þ |f(x) – L| <
ε
2. Limit Kanan (Lebih dari atau x ⟶
a+ )
a+ )
Notasi : 
atau 
atau
Definisi : 
Û (⩝ε > 0)($δ > 0) $⩝x,
0 < x – x0 < δ Þ |f(x) – L| <
ε
Û (⩝ε > 0)($δ > 0) $⩝x,0 < x – x0 < δ Þ |f(x) – L| <
ε
Sifat Limit Kiri dan Kanan
ada Û = dan 
= =
Catatan : = ∞(-∞) dinamakan limit semu, yang berarti tidak ada nilainya
= ∞(-∞) dinamakan limit semu, yang berarti tidak ada nilainya
Contoh 1 : Misalkan
diberikan fungsi
. Hitunglah 
dan 
?
diberikan fungsi
. Hitunglah dan ?
Jawab:
Ø = 
= 
= =
Ø 
= 
= 2(3)2 + 3(3) – 1 = 18 + 9 – 1 = 26 Þlimit kiri
= = 2(3)2 + 3(3) – 1 = 18 + 9 – 1 = 26 Þlimit kiri
Ø 
= 
= 
Þ limit kanan
= = Þ limit kanan
karena limit kiri ≠ limit kanan berarti “tidak ada
nilai limit” maka dikatakan limit SEMU.
nilai limit” maka dikatakan limit SEMU.
Contoh 2: Tunjukkan
apakah
= 
= 
ada ?
apakah
= = ada ?
Ø Jika x ⟶
-1 dan x > -1 berarti punya nilai mendekati -0,999 maka
-1 dan x > -1 berarti punya nilai mendekati -0,999 maka
Untuk x + 1 > 0 maka |x + 1| = x + 1
Untuk x – 1 < 0 maka |x – 1| = -(x – 1) maka
= 
= 
= 
Limit Kanan
Ø Jika x ⟶
-1 dan x < -1 berarti punya nilai mendekati -1,0001 maka
-1 dan x < -1 berarti punya nilai mendekati -1,0001 maka
Untuk x + 1 < 0 maka |x + 1| = -(x + 1)
Untuk x – 1 < 0 maka |x – 1| = -(x – 1) maka
= 
= 
= 
Limit Kiri
Karena limit Kiri ≠
limit kanan maka tidak ada nilainya
limit kanan maka
tidak ada nilainya
BILANGAN ALAM
Bilangan alam e
termasuk bilangan irrasional harganya adalah 2,718281828459… dan dirumuskan
termasuk bilangan irrasional harganya adalah 2,718281828459… dan dirumuskan
e
=
atau e
=
=
atau e=
Cara
Menghitung e adalah
Menghitung e adalah
(a + b)n = c0an
+ c1an-1b + c2an-2b2 +
… + cn-1abn-1 + cn
+ c1an-1b + c2an-2b2 +
… + cn-1abn-1 + cn
ck = 
Sifat – Sifat Bilangan
Alam :
Alam :
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Contoh Soal : Tentukan 
Jawab:
Ø Cara1
Misalkan 
maka -2y = x + 1
sehingga didapat nilai x = -2y – 1 dan y = –½(x+1)
maka -2y = x + 1sehingga didapat nilai x = -2y – 1 dan y = –½(x+1)
Substitusikan nilai x = -2y – 1 pada 3x + 5 sehingga
didapat
didapat
3x + 5 = 3(-2y – 1) + 5 = -6y + 2
Dengan syarat x ⟶∞
maka y = – ½ (∞ + 1) = – ∞
maka y = – ½ (∞ + 1) = – ∞
= 
= 
= 
= 
karena 
maka
karena maka
= e
-6. 1 = e-6
-6. 1 = e-6
Ø Cara 2
= 
= 
= 
= 
= e-6
= e-6
Ø Cara 3
Jika 
, 
maka 
, maka
Pada contoh di atas
= 0
= ∞
Jadi = = = 
= e-6
= = = = e-6
Latihan
Soal :
Soal :
1. Hitunglah nilai dari 
= ∞
= ∞
2. Nilai dari 
= 
=
3. Diketahui f(x) = 
. Buktikan bahwa 
tidak ada !
. Buktikan bahwa tidak ada !
4. Nilai dari 
jawabannya adalah = 
= 
jawabannya adalah = =
5. Hitunglah nilai dari 
jawabannya adalah = 
jawabannya adalah =