Rabu, Oktober 16, 2024
Kalkulus I

LIMIT DAN KONTINUITAS

LIMIT DAN KONTINUITAS
Text Box: Ditulis :   = L ↔ (⩝ ε > 0)($δ > 0){0 < |x ⟶ x0| < δ Þ |f(x) – L| < ε }Definisi : Fungsi f(x) 
dikatakan mempunyai limit L untuk x
xo bila untuk setiap
bilangan positif ε  yang diberikan,
terdapatlah bilangan positif δ sedemikian hingga untuk semua nilai x dimana 0
< |x
x0| < δ berlaku |f(x) L| < ε
Pernyataan 0 < |x x0| < δ berarti x berada
diantara (x0 – δ) dan (x0 + δ) atau (x0 – δ)
< x < (x0 + δ). Dalam hal δ cukup kecil maka x sangat
mendekati x0 (x
x0 berarti x ≠ x0).
Arti geometris definisi
limit dalam kalimat sederhananya adalah Fungsi f(x) dikatakan mempunyai nilai mendekati L untuk x mendekati x0
bila dan hanya bila setiap kali ditetapkan nilai ε positif kecil, selalu dapat ditemukan nilai δ
sedemikian hingga selisih harga antara
f(x) dan L
selalu lebih kecil dari ε bila
jarak antara x dan x0
kurang dari δ.
Contoh
1
: Dengan menggunakan
definisi limit, tunjukkan bahwa
Jawab :
Ambil sebarang bilangan
ε positif, akan kita tunjukkan bilangan δ positif sedemikian hingga
apabila    0 < |x – 1| < δ maka |(x2
+ 3) – 4)| < ε.
F(x) = (x2 +
3), L = 4 mulai dari |f(x) – L| < ε
|(x2 + 3) –
4)|  = |x2 – 1|
                        = |(x2 – 2x + 1) + (2x – 2)|
                        = |(x – 1)2 + 2(x – 1)|
                        ≤ |x – 1|2 + 2|x – 1| (sifat harga
mutlak) sifat |x|2 = x2
                        < δ2 + 2δ (karena |x – 1| <
δ)
                        < δ + 2δ (karena δ kecil, maka δ2
< δ)
                        < 3δ = 3 x  = ε.
Maka dengan mengambil δ
<  artinya untuk setiap
nilai ε positif selalu dapat ditemukan δ positif (yakni < ) maka terbukti bahwa apabila 0 < |x – 1| < δ maka |(x2
+ 3) – 4)| < ε.
Contoh
2
: Buktikanlah
Jawab :
Akan dibuktikan  Û ( ε > 0)($δ > 0) $x,
|x – 2| <δ sehingga |3x – 6| < ε
Ambil sebarang ε > 0
maka
|3x – 6| = |3(x – 2)|
             = |3||x – 2|
             = 3 |x – 2| < δ
             = 3 δ karena δ =  maka 3 . = ε
Pilih δ = positif akibatnya x, |x – 2| < 2 berlaku
|3x – 6| = 3 |x – 2|
             < 3 δ = 3 . = ε |3x – 6| < ε
Maka dengan mengambil δ
<  artinya untuk setiap
nilai ε positif selalu dapat ditemukan δ positif (yakni < ) maka terbukti bahwa apabila 0 < |3x – 6| < δ maka |(3x
– 6)| < ε.
Contoh
3
: Buktikanlah
Jawab :
Untuk setiap harga ε
positif (ε > 0) harus dapat ditemukan δ positif sedemikian hingga apabila
0 < |x – 1| < δ
maka |f(x) – L| < ε atau |x2 – 3x + 1) – 1| < ε
|x2 – 3x +
1) – 1| =  |x2 + 3x|
                            ≤
|x2| + 3|x|
                           
< δ2 + 3δ karena δ2 < δ
                            < δ + 3δ
                           
< 4δ
Maka ambil sebarang δ
<  artinya untuk setiap
nilai ε positif selalu dapat ditemukan δ positif (yakni < ) maka terbukti bahwa apabila 0 < |x – 1| < δ maka
|f(x) – L| < ε atau |x2 – 3x + 1) – 1| < ε.
Contoh
4
: Buktikanlah
Jawab :
Dibuktikan mahasiswa
sebagai latihan
Contoh
5
: Buktikanlah
Jawab:
Dibuktikan mahasiswa
sebagai latihan
Sifat – Sifat Limit Fungsi
1.      , k konstanta
2.     
3.       dimana k = konstanta
4.      Jika  dan  maka
  1. =  
  2. = = AxB
  3. , B ≠ 0
  4.  asal
Contoh
1
:
Jawab :
=
                   = 2
                   = 2 . 0 – 1
                   = – 1
Contoh
2
: Hitunglah = , dimana sifat 4c tidak dapat digunakan
Jawab:
=
                   =
       = x + 3
                   = 3 + 3 = 6
Contoh
3
: Hitunglah kalau x = 2 dimasukkan maka nilainya jadi ()
Jawab:
 = x
                             =
                             =
                             =
                             =
3 +
    
= 3 + 3 = 6
Contoh
4
: Hitunglah  kalau nilai x = ∞
dimasukkan maka nilainya jadi ()
Jawab:
=
                            =
                           =
Contoh
5
: Diketahui f(x) = 2log
x dan g(x) = arc cos x. Tentukanlah (fog)-1 dan (gof)-1 ?
Jawab :
Dibuktikan mahasiswa
sebagai latihan
Contoh
6
: Hitunglah
a.      
b.     
Limit Kiri dan Limit Kanan
1.      Limit Kiri (Kurang dari atau x a
)
Notasi :  atau
Definisi : Û (ε > 0)($δ > 0) $x,
-δ < x – x0 < 0
Þ |f(x) – L| <
ε
2.      Limit Kanan (Lebih dari atau x
a+ )
Notasi :  atau
Definisi : Û (ε > 0)($δ > 0) $x,
0 < x – x0 < δ
Þ |f(x) – L| <
ε
Sifat Limit Kiri dan Kanan
 ada Û  =  dan = =
Catatan : = ∞(-∞) dinamakan limit semu, yang berarti tidak ada nilainya
Contoh 1 : Misalkan
diberikan fungsi . Hitunglah  dan  ?
Jawab:
Ø  = =  
Ø  = = 2(3)2 + 3(3) – 1 = 18 + 9 – 1 = 26 Þlimit kiri
Ø  = =  Þ limit kanan
karena limit kiri ≠ limit kanan berarti “tidak ada
nilai limit” maka dikatakan limit SEMU.
Contoh 2: Tunjukkan
apakah =  =  ada ?
Ø  Jika x
-1 dan x > -1 berarti punya nilai mendekati -0,999 maka
Untuk x + 1 > 0 maka |x + 1| = x + 1
Untuk x – 1 < 0 maka |x – 1| = -(x – 1) maka
 =   = =  Limit Kanan
Ø  Jika x
-1 dan x < -1 berarti punya nilai mendekati -1,0001 maka
Untuk x + 1 < 0 maka |x + 1| = -(x + 1)
Untuk x – 1 < 0 maka |x – 1| = -(x – 1) maka
 = =  =  Limit Kiri
Karena limit Kiri ≠
limit kanan maka  tidak ada nilainya
BILANGAN ALAM
Bilangan alam e
termasuk bilangan irrasional harganya adalah 2,718281828459… dan dirumuskan
e
=  atau
e
=
Cara
Menghitung
e adalah
(a + b)n = c0an
+ c1an-1b + c2an-2b2 +
… + cn-1abn-1 + cn
ck =
Sifat – Sifat Bilangan
Alam :
1.     
2.     
3.     
4.     
5.     
6.     
Contoh Soal : Tentukan
Jawab:
Ø  Cara1
Misalkan  maka -2y = x + 1
sehingga didapat nilai x = -2y – 1 dan y = –
½(x+1)
Substitusikan nilai x = -2y – 1 pada 3x + 5 sehingga
didapat
3x + 5 = 3(-2y – 1) + 5 = -6y + 2
Dengan syarat x
maka y = –
½ (∞ + 1) = – ∞
=
=
=
=  karena  maka
= e
-6
. 1 = e-6
Ø  Cara 2
=
                               =
                               =
                               =  = e-6
Ø  Cara 3
Jika ,  maka
Pada contoh di atas
= 0
= ∞
Jadi = = = = e-6
Latihan
Soal :
1.      Hitunglah nilai dari = ∞
2.      Nilai dari =
3.      Diketahui f(x) =  . Buktikan bahwa  tidak ada !
4.      Nilai dari jawabannya adalah = =
5.      Hitunglah nilai dari jawabannya adalah =

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *