Rabu, Oktober 16, 2024
Kalkulus I

TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
Bentuk fungsi terbagi menjadi 2 yaitu fungsi
eksplisit (y = f(x) atau x = g(y)) dan fungsi implisit f(x, y) = 0.
Misalkan
tentukanlah turunan dari
·        
Fs
Eksplisit
y = x2 + 2x maka = 2x + 2
·        
Fs
Implisit
2x2y + 4x – 1 = 0 maka 2x2y
= -4x + 1 sehingga
Misalkan
bentuk implisit x2y3 + 2xy2 – 3x + y – 1 = 0
maka y(x2y2 + 2xy + 1) – 3x – 1 = 0 maka dirubah
bentuknya menjadi
Differensial Parsial
dan Differensial Total
Definisi
: dari fungsi f(x, y) = 0 yang dimaksud
1.     
= turunan parsial di f terhadap x ; selain x dianggap
konstan(y dianggap konstan)
2.     
 = turunan parsial di f terhadap y ; selain y dianggap
konstan(x dianggap konstan)
3.     
df
= dx + dy
 dan  disebut Differensial
Parsial
df
= dx + dy disebut Differensial Total
Turunan Pertama Fungsi
 f(x, y) = 0
maka df = dx + dy = 0 berarti  
Turunan Kedua
dirumuskan
:
Cara menyelesaikan soal
bentuk Differensial Total
1.     
Cara
I
Misalkan f(x, y) adalah fungsi 2 variabel yang bisa
diturunkan differensial total di F adalah df (x, y) = dx + dy
Contoh : Tentukanlah turunan pertama dari f(x, y) =
4x2y + 3xy3 – 2x + 1
Jawab :
Tentukan dulu nilai dari   dan  sehingga didapat :
= 8xy + 3y3 – 2 dan = 4x2 + 9xy2 maka differensial totalnya
adalah
df (x, y) = dx + dy
df (x, y) = (8xy + 3y3 – 2) dx + (4x2
+ 9xy2) dy
dari f(x, y) = 0
      df(x , y)
= d(0)
      dx + dy = 0
      dy = dx   sehingga  
                                                     
2.     
Cara
II
  • Masing – masing diturunkan
    terhadap x, y dianggap fungsi x (gunakan aturan rantai)
  • Nyatakan  dalam x dan y
Contoh : Tentukanlah turunan pertama dari x2
+ y2 = 100
Cara I :
x2 + y2 – 100 = 0
f(x,y) = x2 + y2 – 100 = 0
= 2x dan  = 2y jadi  maka  =
Cara II :
x2 + y2 – 100 = 0
(x2 + y2) =  (100) dimana y fungsi
x
(y2) = (y2) .  
            = 2y
2x + 2y  = 0
2y  = – 2x
 =
TURUNAN FUNGSI
TRIGONOMETRI
Rumus – Rumus Turunan
Fungsi Trigonometri
1.     
(sin x) = cos x
2.     
(cos x) = – sin x
3.     
(tan x) = sec2 x
4.     
(cot x) = – cosec2 x
5.     
(sec x) = sec x . tan x
6.     
(cosec x) = – cosec x . cot x
Contoh 1 : Tentukan turunan pertama dari y = cos3(4x5
– 2x2 + 1)
Jawab
:
y
= cos3(4x5 – 2x2 + 1)
   = (cos(4x5 – 2x2 + 1))3
Misalkan
y = U3 dengan U = cos(4x5 – 2x2 + 1)
                                        U = cos V dengan V = 4x5 – 2x2
+ 1
 = . .
       = 3U2 . (- sin V) (20x4
– 4x)
       = 3 cos2(4x5 – 2x2
+ 1)(- sin(4x5 – 2x2 + 1))( 20x4 – 4x)
Contoh 2 : Tentukanlah turunan pertama dari 2y2
+ 4xy + sin(xy2) – 1 = 0
Jawab
:
2y2
+ 4xy + sin(xy2) – 1 = 0 gunakanlaah aturan rantai U.V = U’V +UV’
4y.+ 4(1 . y + x . 1.) + cos (xy2) (1. y2 + x . 2y . ) = 0
(4y + 4x + 2xy cos(xy2) = – 4y – y2cos
(xy2)
 =
Contoh 3 : Tentukanlah turunan pertama dari y =
cos (2x + y) + sin (2y – x)
Jawab
:
y
= cos (2x + y) + sin (2y – x)
y
– cos(2x + y) – sin(2y – x) = 0
 + sin(2x + y) . (2 +
1. ) – cos(2y – x) . (2.  – 1) = 0
+ 2 sin(2x + y) +  sin(2x + y) – . 2 cos(2y – x) + cos (2y – x) = 0
(1 + sin(2x + y) – 2 cos (2y – x)) = – 2sin (2x + y) – cos(2y
– x)
                                    =
TURUNAN FUNGSI
SIKLOMETRI
Rumus – Rumus Turunan
Fungsi Siklometri
1.     
(arc sin x) =
2.     
(arc cos x) =
3.     
(arc tan x) =
4.     
(arc cot x) =
5.     
(arc sec x) =
6.     
(arc cosec x) =
TURUNAN FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA
1.     
(alog x) =
2.     
(ln x) =
3.     
(ax) = ax ln a
4.     
(ex) = ex
Contoh 1 : Tentukanlah turunan pertama dari y =
arc  +
Jawab
:
y
= arc  +
  =  +  
  =   –
  =  –
Contoh 2 : Tentukanlah turunan pertama dari y =
arc tan tan3 x2y3
Jawab
:
y
= arc tan tan3 x2y3
y
= arc tan U  =  dimana U = tan3
x2y3 = (tan x2y3)3 = V3
dimana V = tanx2y3
V
= tan W dimana W = x2y3
 = . . .
       =
=
=
=
Contoh 3
Tentukanlah turunan pertama dari arc sin (xy) + arc cos (xy2)
= xy
Jawab
:
arc
sin (xy) + arc cos (xy2) = xy
. (1 . y + x . 1 . ) +  = (1 . y + x . 1.)
+ . – .= y + x .
(– x ) = – + + y
                                                =
Contoh 4 : Tentukanlah turunan pertama dari
Jawab
:
fungsi di atas dapat
diselesaikan dengan f(x) =  
Þ f’(x) =  maka
= 0
 –
 –
 –  =
                                          =
                                         =
Contoh 5 : Tentukanlah turunan pertama dari y =
Dikerjakan
mahasiswa sebagai latihan
Contoh 6 : Tentukanlah turunan pertama dari y =
33x – 44x-1
Dikerjakan
mahasiswa sebagai latihan
Jawaban Contoh 5
:
y =
y = U3 dengan U =
                        U
= ln V dengan V =
= 3U2 . .  + x3 . .
= 3 ln2 x3.. ( + x3 . . )
=
=
Jawaban Contoh 6
:
y = 33x – 44x-1
=
Kita cari satu persatu terlebih dahulu sehingga
didapat :
 sehingga y’ = 3U
dimana U = 3x
 = 3U ln 3 .
3 = 33x ln 3 . 3 = 33x+1 ln 3
sehingga y’ = 4U dimana U = 4x – 1
= 4U ln 4 . 4 = 44x-1 ln 4 . 4 = 44x-1+1
ln 4 = 44x ln 4
Turunan Pertama dari y = 33x – 44x-1
adalah
=
= 33x ln 3 . 31 – 44x-1 ln 4
. 41
     = 33x+1
ln 3 – 44x ln 4
Turunan Pertama dari y = 33x – 44x-1
adalah 33x+1 ln 3 – 44x ln 4
Catatan :
1.     
Y = xn
y’ = n.xn-1
2.     
Y = ax
y’ = ax ln a
3.     
Y = f(x)g(x)

y’ = … ?
Penurunan Fungsi Secara Logaritmis
            Y =
f(x)g(x)
Contoh : Tentukan
turunan pertama dari y = sin xcos x ?
Jawab :
ln y = ln sin xcos x
ln y = cos x . ln sin x
ingat bahwa turunan dari u.v = u’v + uv’
= – sin x . ln sin x + cos x .  . cos x
= y (- sin x . ln sin x + )
     = sin xcos
x
(- sin x . ln sin x + )
Turunan
Fungsi Parameter
Fungsi dalam parameter ditulis :
; t parameter
Mencari turunan fungsi dalam bentuk parameter :

 =
Rumus :
    

Turunan pertama
Rumus :   
Turunan Kedua
Contoh 1
: Tentukan  dan  dari
Jawab :
x = 2t2 + t maka = 4t + 1 dan = 4
y = t3 – 3t2 maka = 3t2 – 6t dan  = 6t – 6
=  dan = =
Contoh 2
: Tentukan  dan  dari
Jawab :
x = r cos t  = -r sin t dan = -r cos t
y = r sin t = r cos t dan = -r sin t
=  = – cot t
= =
Contoh 3
: Tentukan  dari
Jawab :
x = sin (2t2 + 1) maka = cos (2t2 + 1) . 4t = 4t cos (2t2 + 1)
           =
y = ln2 t maka = 2 ln t .  = 2 . ln t
=
=
=
Turunan
Tingkat Tinggi
Turunan kedua dari fungsi f(x)
didapatkan dengan menurunkan sekali lagi bentuk turunan pertama. Demikian
seterusnya untuk turunan ke-n didapatkan dari penurunan bentuk turunan ke-(n –
1).
Turunan pertama         f’(x) =
Turunan kedua            f”(x) =
Turunan ketiga            f’”(x) =
Turunan ke-n               f (n) (x) =  = =
Contoh
1
: Tentukan turunan ketiga dari f(x) = 3x2
+ 4x – 1
Jawab :
f’(x) = 6x + 4
f”(x) = 6
f”’(x) = 0
Contoh
2
: Tentukan turunan  dari fungsi parameter
berikut
Jawab :
 = =
= = =
Contoh
3
: Tentukan turunan  dari fungsi parameter
berikut
Jawab :
 = =                             
= =

-18t3 sin (t3 – 1)

 

   
=

-9t4 sin (t3 – 1)

 

   =

  
=
  
=
  
=
Contoh
4
: Tentukan turunan  dari fungsi implisit
berikut x3y2 + 2x2y – x3 + 1 = 0
Jawab :
( x3y2 + 2x2y – x3
+ 1) =  0
(3x2y2 + x32y
) + (4xy +2x2 . 1 ) – 3x2 = 0
( x32y + 2x2) = 3x2 – 3x2y2
– 4xy
 =  ……………………(1)
(3x2y2 + x32y
) + (4xy +2x2 . 1 ) – 3x2 = 0
(3x2y2 + x32y ) +  2(2xy + x2 ) – 3x2 =  0
= (3(2xy2 + x2
2y ) + (3x2 . 2y )) + x3(2.+ 2y ) + 2(2y + 2x ) +                
2(2x + x2) – 6x = 0
= (6xy2 + 6x2
y ) + (6x2 y  + 2x3()2 + (2yx3 ) + (4y + 4x ) + (4x + 2x2) – 6x = 0
= (6x2y + 6x2y + 4x + 4x) + ()2 2x3 + (2yx3 2x2) + (6xy2 + 4y –
6x) = 0
(2yx3 2x2) = – (12x2y + 8 x)
 – 2x3()2 – 6xy2 – 4y + 6x
 =  ……………………..(2)
Substitusikan persamaan 1 ke
persamaan 2 sehingga didapat :
=
Latihan
Soal :
1.      Carilah   dari :
a.            
x2
+ y2
= 25
b.           
y = ln t, x = et
c.            
y = , x = ln (et
+1)
2.     
Carilah turunan ke n dari fungsi di bawah ini:
a.      
b.     
3.     
Tentukan
turunan kedua dan ketiga dari fungsi f(x) =
4.      Tentukan
turunan  dari fungsi implisit
berikut y = arc sin (x – y)
Jawaban Latihan Soal
1.      Carilah   dari :
a.             
x2
+ y2
= 25
b.           
y = ln t, x = et
c.            
y = , x = ln (et
+1)
Penyelesaian :
a.      
Turunan pertama dari =  x2 + y2 =
25, yaitu
.
Karena  
Dan
mengingat y adalah fungsi dari x, dengan aturan pembagian dan
aturan rantai, diperoleh
Jadi 
b.     
Turunan dari y = ln t,
x = et
      = =
      =
Oleh karena  dan  maka  .
c.      
Turunan dari y = , x = ln (et
+1)
      = =
 
         =
                     =
2.     
Carilah turunan ke n dari fungsi di bawah ini:
a.     
b.     
Penyelesaian :
a.       Turunan
ke-n adalah 
b.      Turunan
ke-n adalah 
3.     
Tentukan
turunan kedua dan ketiga dari fungsi f(x) =
Jawab : Dikerjakan Mahasiswa sebagai latihan soal
4.      Tentukan
turunan  dari fungsi implisit
berikut y = arc sin (x – y)
Jawab
: Dikerjakan Mahasiswa sebagai latihan soal

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *