Kontinuitas (Tugas)
KONTINUITAS
Definisi 1 : Fungsi
f(x) disebut kontinu di x = a bila untuk setiap ε > 0 yang diberikan dapat
ditemukan δ > 0 sedemikian hingga untuk
semua x dimana |x – a| < δ
maka |f(x) – f(a)| < ε.
f(x) disebut kontinu di x = a bila untuk setiap ε > 0 yang diberikan dapat
ditemukan δ > 0 sedemikian hingga untuk
semua x dimana |x – a| < δ
maka |f(x) – f(a)| < ε.
dari
definisi di atas berarti f(x) mempunyai harga limit = f(a) untuk x mendekati a.
definisi di atas berarti f(x) mempunyai harga limit = f(a) untuk x mendekati a.
Definisi 2 : Fungsi
f(x) disebut kontinu di x = a apabila:
f(x) disebut kontinu di x = a apabila:
1.
f(a) = ada
f(a) = ada
2.
= ada
= ada
3.
= f(a)
= f(a)
Jadi suatu fungsi f(x) dikatakan kontinu di titik x = a
apabila memenuhi ketiga syarat sekaligus yakni :
apabila memenuhi ketiga syarat sekaligus yakni :
1.
f(a) harus ada,
berhingga/terdefinisi
f(a) harus ada,
berhingga/terdefinisi
2.
= ada, yang berarti limit kiri = limit kanan
= ada, yang berarti limit kiri = limit kanan
3.
= f(a)
= f(a)
Apabila salah satu dari ketiga syarat tidak terpenuhi, maka
f(x) dikatakan tidak kontinu(diskontinu) di x = a.
f(x) dikatakan tidak kontinu(diskontinu) di x = a.
Contoh 1:
Selidikilah kontinuitas fungsi f(x) = 2x3 – 3x2 + 7 di
titik x = 1
Selidikilah kontinuitas fungsi f(x) = 2x3 – 3x2 + 7 di
titik x = 1
Jawab :
1.
f(a) harus ada ⟶ f(1) = 2.1 – 3.1 + 7 = 6
ada
f(a) harus ada ⟶ f(1) = 2.1 – 3.1 + 7 = 6
ada
2.
=
= 2.1 – 3.1 + 7 = 6 ada
== 2.1 – 3.1 + 7 = 6 ada
3.
Ternyata= f(1) = 6
Ternyata
= f(1) = 6
Kesimpulan : Karena ketiga syarat terpenuhi, maka f(x)
kontinu di x = 1
kontinu di x = 1
Contoh 2 : Diberikan
f(x) =
. Tentukan harga a dan
b agar f(x) kontinu untuk semua harga x ?
f(x) =
. Tentukan harga a danb agar f(x) kontinu untuk semua harga x ?
Jawab :
v Selidiki
untuk x = 0
untuk x = 0
Limit kiri
:
:
Limit kanan
:
:
Agar f(x)
kontinu x = maka harga limitnya harus ada yakni : limit kiri = limit kanan.
kontinu x = maka harga limitnya harus ada yakni : limit kiri = limit kanan.
Jadi 
atau a = 2b ….. (1)
atau a = 2b ….. (1)
v Pada
x = 2
x = 2
Limit kiri
:
:
Limit kanan
:
:
Agar
kontinu di x = 2 haruslah limit kiri =limit kanan.
kontinu di x = 2 haruslah limit kiri =limit kanan.
Jadi 4 – b
= 6 atau b = -2 …. (2)
= 6 atau b = -2 …. (2)
Dari
persamaan (1) dan (2) diperoleh a = -4 dan b = -2 dan f(x) kontinu untuk setiap
harga x.
persamaan (1) dan (2) diperoleh a = -4 dan b = -2 dan f(x) kontinu untuk setiap
harga x.
Contoh 3 : Selidikilah
kontinuitas fungsi g(x) =
dititik x = 2 ?
kontinuitas fungsi g(x) =
dititik x = 2 ?
Jawab :
1.
g(2) = 7.2 = 14 ada
g(2) = 7.2 = 14 ada
2.
= 
= 
= 2 + 2 = 4
= = = 2 + 2 = 4
g(x)
diskontinu di x = 2 tetapi jika g(x) didefinisikan ulang sebagai g(x) =
maka apabila dihitung g(x)
kontinu di x = 2.
diskontinu di x = 2 tetapi jika g(x) didefinisikan ulang sebagai g(x) =
maka apabila dihitung g(x)kontinu di x = 2.
Contoh 4 : Selidikilah
f(x) =
agar x kontinu untuk
semua harga x maka f harus kontinu pada (-∞, -2),di titik (-2), pada (-2, -1), dititik (1) dan pada (1, ∞).
f(x) =
agar x kontinu untuksemua harga x maka f harus kontinu pada (-∞, -2),di titik (-2), pada (-2, -1), dititik (1) dan pada (1, ∞).
Jawab :
Ø Pada
(-∞, -2) f jelas kontinu sebab,
misalkan diambil sebarang c ∈(-∞, -2)
(-∞, -2) f jelas kontinu sebab,
misalkan diambil sebarang c ∈(-∞, -2)
- f(c) = c – 2b
=
= c – 2b - = f(c)
Jadi f
kontinun di titik c karena c sebarang ∈
(-∞, -2) maka f kontinu
disetiap ∈ (-∞, -2). Jadi f kontinu pada (-∞, -2).
kontinun di titik c karena c sebarang ∈
(-∞, -2) maka f kontinu
disetiap ∈ (-∞, -2). Jadi f kontinu pada (-∞, -2).
Secara sama (bisa dicek) f kontinu pada (-∞, -2) dan (1, ∞)
Ø Supaya x kontinu di x = -2
- F(-2) = -2 – 2b ada -2b = 2
sehingga b = -1 
ada apabila limit kiri = limit kanan
-2 – 2b = –
2b + 2c sehingga kalau ketemu b = -1 maka
2b + 2c sehingga kalau ketemu b = -1 maka
-2 = 2c
jadi c = -1
jadi c = -1
- = f(-2)
Ø Supaya x kontinu di x = 1
- F(1) = c – 5 ada sehingga c =
5 
ada apabila limit kiri = limit kanan
b + 2c = c
– 5
– 5
b + 2(5) =
(5) – 5 maka b + 10 = 0 sehingga nilai b = -10
(5) – 5 maka b + 10 = 0 sehingga nilai b = -10
-
= f(1)