Limit Fungsi Implisit (Tugas)
LIMIT FUNGSI IMPLISIT
Bentuk fungsi terbagi menjadi 2 yaitu fungsi
eksplisit (y = f(x) atau x = g(y)) dan fungsi implisit f(x, y) = 0.
eksplisit (y = f(x) atau x = g(y)) dan fungsi implisit f(x, y) = 0.
Misalkan
tentukanlah turunan dari
tentukanlah turunan dari
·
Fs
Eksplisit ⟶ y = x2 + 2x maka
= 2x + 2
Fs
Eksplisit ⟶ y = x2 + 2x maka
= 2x + 2
·
Fs
Implisit ⟶2x2y + 4x – 1 = 0 maka 2x2y
= -4x + 1 sehingga
Fs
Implisit ⟶2x2y + 4x – 1 = 0 maka 2x2y
= -4x + 1 sehingga
Misalkan
bentuk implisit x2y3 + 2xy2 – 3x + y – 1 = 0
maka y(x2y2 + 2xy + 1) – 3x – 1 = 0 maka dirubah
bentuknya menjadi
bentuk implisit x2y3 + 2xy2 – 3x + y – 1 = 0
maka y(x2y2 + 2xy + 1) – 3x – 1 = 0 maka dirubah
bentuknya menjadi
Differensial Parsial
dan Differensial Total
dan Differensial Total
Definisi
: dari fungsi f(x, y) = 0 yang dimaksud
: dari fungsi f(x, y) = 0 yang dimaksud
1.
= turunan parsial di f terhadap x ; selain x dianggap
konstan(y dianggap konstan)
= turunan parsial di f terhadap x ; selain x dianggapkonstan(y dianggap konstan)
2.
= turunan parsial di f terhadap y ; selain y dianggap
konstan(x dianggap konstan)
= turunan parsial di f terhadap y ; selain y dianggapkonstan(x dianggap konstan)
3.
df
=dx + dy
df
=
dx + dy dan disebut DifferensialParsial
df
=dx + dy disebut Differensial Total
=
dx + dy disebut Differensial Total
bila
f(x, y) = 0 maka df =dx + dy = 0 berarti 
f(x, y) = 0 maka df =
dx + dy = 0 berarti
Cara menyelesaikan soal
bentuk Differensial Total
bentuk Differensial Total
1.
Cara
I
Cara
I
Misalkan f(x, y) adalah fungsi 2 variabel yang bisa
diturunkan differensial total di F adalah df (x, y) =dx + dy
diturunkan differensial total di F adalah df (x, y) =
dx + dy
Contoh : Tentukanlah turunan pertama dari f(x, y) =
4x2y + 3xy3 – 2x + 1
4x2y + 3xy3 – 2x + 1
Jawab :
Tentukan dulu nilai dari dan sehingga didapat :
dan sehingga didapat := 8xy + 3y3 – 2 dan = 4x2 + 9xy2 maka differensial totalnyaadalah
df (x, y) = dx + dy
dx + dy
df (x, y) = (8xy + 3y3 – 2) dx + (4x2
+ 9xy2) dy
+ 9xy2) dy
dari f(x, y) = 0
df(x , y)
= d(0)
= d(0)
dx + dy = 0dy = 
dx sehingga 
2.
Cara
II
Cara
II
- Masing – masing diturunkan
terhadap x, y dianggap fungsi x (gunakan aturan rantai) - Nyatakan dalam x dan y
Contoh : Tentukanlah turunan pertama dari x2
+ y2 = 100
+ y2 = 100
Cara I :
x2 + y2 – 100 = 0
f(x,y) = x2 + y2 – 100 = 0
= 2x dan = 2y jadi maka 
= 
Cara II :
x2 + y2 – 100 = 0
(x2 + y2) = (100) dimana y fungsix
(y2) = 
(y2) .
= 2y
2x + 2y = 0
= 0
2y = – 2x
= – 2x =
TURUNAN FUNGSI
TRIGONOMETRI
TRIGONOMETRI
Rumus – Rumus Turunan
Fungsi Trigonometri
Fungsi Trigonometri
1.
(sin x) = cos x
(sin x) = cos x
2.
(cos x) = – sin x
(cos x) = – sin x
3.
(tan x) = sec2 x
(tan x) = sec2 x
4.
(cot x) = – cosec2 x
(cot x) = – cosec2 x
5.
(sec x) = sec x . tan x
(sec x) = sec x . tan x
6.
(cosec x) = – cosec x . cot x
(cosec x) = – cosec x . cot x
Contoh 1 : Tentukan turunan pertama dari y = cos3(4x5
– 2x2 + 1)
– 2x2 + 1)
Jawab
:
:
y
= cos3(4x5 – 2x2 + 1)
= cos3(4x5 – 2x2 + 1)
= (cos(4x5 – 2x2 + 1))3
Misalkan
y = U3 dengan U = cos(4x5 – 2x2 + 1)
y = U3 dengan U = cos(4x5 – 2x2 + 1)
U = cos V dengan V = 4x5 – 2x2
+ 1
+ 1
= 
. 
. 
= 3U2 . (- sin V) (20x4
– 4x)
– 4x)
= 3 cos2(4x5 – 2x2
+ 1)(- sin(4x5 – 2x2 + 1))( 20x4 – 4x)
+ 1)(- sin(4x5 – 2x2 + 1))( 20x4 – 4x)
Contoh 2 : Tentukanlah turunan pertama dari 2y2
+ 4xy + sin(xy2) – 1 = 0
+ 4xy + sin(xy2) – 1 = 0
Jawab
:
:
2y2
+ 4xy + sin(xy2) – 1 = 0 gunakanlaah aturan rantai U.V = U’V +UV’
+ 4xy + sin(xy2) – 1 = 0 gunakanlaah aturan rantai U.V = U’V +UV’
4y.+ 4(1 . y + x . 1.) + cos (xy2) (1. y2 + x . 2y . ) = 0
+ 4(1 . y + x . 1.) + cos (xy2) (1. y2 + x . 2y . ) = 0(4y + 4x + 2xy cos(xy2) = – 4y – y2cos(xy2)
= 
Contoh 3 : Tentukanlah turunan pertama dari y =
cos (2x + y) + sin (2y – x)
cos (2x + y) + sin (2y – x)
Jawab
:
:
y
= cos (2x + y) + sin (2y – x)
= cos (2x + y) + sin (2y – x)
y
– cos(2x + y) – sin(2y – x) = 0
– cos(2x + y) – sin(2y – x) = 0
+ sin(2x + y) . (2 +1.
) – cos(2y – x) . (2. – 1) = 0+ 2 sin(2x + y) + sin(2x + y) – . 2 cos(2y – x) + cos (2y – x) = 0(1 + sin(2x + y) – 2 cos (2y – x)) = – 2sin (2x + y) – cos(2y– x)
= 
TURUNAN FUNGSI
SIKLOMETRI
SIKLOMETRI
Rumus – Rumus Turunan
Fungsi Siklometri
Fungsi Siklometri
1.
(arc sin x) = 
(arc sin x) =
2.
(arc cos x) = 
(arc cos x) =
3.
(arc tan x) = 
(arc tan x) =
4.
(arc cot x) = 
(arc cot x) =
5.
(arc sec x) = 
(arc sec x) =
6.
(arc cosec x) = 
(arc cosec x) =
TURUNAN FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA
1.
(alog x) = 
(alog x) =
2.
(ln x) = 
(ln x) =
3.
(ax) = ax ln a
(ax) = ax ln a
4.
(ex) = ex
(ex) = ex
Contoh 1 : Tentukanlah turunan pertama dari y =
arc
+ 
arc
+
Jawab
:
:
y
= arc +
= arc
+
= 
+ 
+
= 
+ 
+
Contoh 2 : Tentukanlah turunan pertama dari y =
arc tan tan3 x2y3
arc tan tan3 x2y3
Jawab
:
:
y
= arc tan tan3 x2y3
= arc tan tan3 x2y3
y
= arc tan U = 
dimana U = tan3
x2y3 = (tan x2y3)3 = V3
dimana V = tanx2y3
= arc tan U
= dimana U = tan3x2y3 = (tan x2y3)3 = V3
dimana V = tanx2y3
V
= tan W dimana W = x2y3
= tan W dimana W = x2y3
= . . 
.
–
= 
= 
=
= 
Contoh 3 : Tentukanlah turunan pertama dari y =
ln3 x3
ln3 x3
Dikerjakan
mahasiswa sebagai latihan
mahasiswa sebagai latihan
Contoh 4 : Tentukanlah turunan pertama dari y =
33x – 44x-1
33x – 44x-1
Dikerjakan
mahasiswa sebagai latihan
mahasiswa sebagai latihan