Advertisement
Kuliah

Tabel Fungsi Trigonometri

jazulirahman 0

3.      Tabel Fungsi Trigonometri
x
Y = sin x
Y = cos x
Y = tan x
Y = cot x
Y = sec x
Y = csc x
0
0
1
0
∞
1
∞
p/6
½
½ 
⅓
⅔
2
p/4
½ 
½ 
1
1
p/3
½ 
½
⅓
2
⅔
p/2
1
0
±∞
o
±∞
1
2p/3
½ 
-½
-⅓
-2
⅔
3p/4
½ 
–½ 
-1
-1
5p/6
½
– ½ 
-⅓
-⅔
2
p
0
-1
0
±∞
-1
±∞
7p/6
-½
-½ 
⅓
-⅔
-2
5p/4
-½ 
–½ 
1
1
–
–
4p/3
-½ 
-½
⅓
-2
-⅔
3p/2
-1
0
±∞
0
±∞
-1
5p/3
-½ 
½
-⅓
2
-⅔
7p/4
–½ 
½ 
-1
-1
–
11p/6
-½
½ 
-⅓
⅔
-2
2p
0
1
0
±∞
1
±∞


MENGANALISIS RUMUS-RUMUS SUDUT BERELASI DALAM TRIGONOMETRI
Analisis bagian pertama :
1.      (1800 – α) dengan α
Sin (180° – α) = sin α
Cos (180° – α) = -cos α
Tan (180° – α) = -tan α
              
Nilai-nilai perbandingan di atas merupakan nilai perbandingan tirigonometri sudut di kuadran II (sinus bernilai positif).
Koordinat kartesius, untuk kuadran II
                                             90°

 


             KW II             180°–α
           SIN   + 
                          Y1                r1       r              y           
1800                                    -x                          α                                                       00/3600
                                                      x
                                
                                            2700
                                                                                                                                            
Analisis pola pertama :          
             Sin (1800  – α) =      sin α     .
            Mengapa    sin α    bertanda positif dan tidak negatif seperti cos dan tan…..???
Karena sin α yang berada di kuadran ke II, sehingga sin α bertanda positif. Coba lihat kembali koordinat kartesius yang menyatakan bahwa sin α bertanda positif.
Dari keterangan tersebut tentunya belum cukup, mari kita buktikan dengan lebih jelas mengenai sin (180° – α) = sin α.
Koordinat kartesius
                                                    (-x, y)             
                                                                        r
                                                          Y   180-α
                                                                      X
Jadi,,,,
Sin (180°–α)=  =  sin α
Dan kita dapat membuktikan bahwa pola sin memang benar dengan membuktikan pada contoh di bawah ini :
Contoh 1 :                                    
1.      Untuk pola sin  sin
Tentukan nilai dari,    
a.      α = 1050           d. α = 150°
b.      α = 1200                     e. α = 165°      
c.       α = 1350
Pembahasan :
a.      α = 105°,,,,    sin
Sin (180° – α) = sin α
Sin 105° = sin (180° – 105°)
Sin 105° = sin 75°
 + ) =  + )
Jadi,,, sin 105° = sin 75°. Berarti sesuai dengan pola sin Terbukti.
b.      α = 120°,,,, sin sin
Sin (180° – α) = sin α
Sin 120° = sin (180° – 120°)
Sin 120° = sin 60°
                        
½√3 = ½√3
Jadi,, sin 120° = sin 60°. Berarti sesuai dengan pola sin Terbukti.
c.       α = 135°,,,,, sin sin
Sin (180° – α) = sin α
Sin 135° = sin (180°– 135°)
Sin 135° = sin 45°
½√2 = ½√2
Jadi,, sin 135° = sin 45°. Berarti sesuai dengan pola sin . Terbukti.
d.      α = 150°,,,,, sin sin
Sin (180° – α) = sin α
Sin 150° = sin (180° – 150°)
Sin 150° = sin 30°            
         ½   =   ½ 
Jadi,,, sin 150° = sin 30°. Berarti sesuai dengan pola sin sin. Terbukti.
e.      α = 165°,,,,, sin sin
Sin (180° – α) = sin α
Sin 165° = sin (180° – 165°)
Sin 165° = sin 15°            
 ¼ (=  ½ (
Jadi,,, sin 165° = sin 15°. Berarti sesuai dengan pola sin sin. Terbukti.
                                                                                    
Untuk pola yang kedua :
               Cos 
                Juga bersesuaian dengan nilai cos (180° – α) =    -cos α
Mengapa cos α bertanda negatif dan tidak positif seperti sin α….???
karena  cos α yang berada di kwadran ke II bertanda negatif. Coba lihat kembali koordinat kartesius yang menyatakan bahwa cos α bertanda negatif.
Dari keterangan tersebut tentunya belum cukup, mari kita buktikan dengan lebih jelas mengenai cos (180° – α) = -cos α.
Koordinat kartesius
                                                    (-x, y)
                                                                        r
                                                          Y   180-α
                                                                     – X
Jadi,,,,
Sin (180°–α)=  =  cos α
Dan kita dapat membuktikan bahwa pola cos memang benar dengan membuktikan pada contoh di bawah ini :
Contoh 2 :
1.      Untuk pola Cos 
Tentukan nilai dari
a.      α = 1050           d. α = 150°
b.      α =  1200                   e. α = 165°      
c.       α = 1350
Pembahasan :
a.      α = 105°,,, cos  cos
Cos (180° – α) =  -cos α
-Cos 105° = cos (180° – 105)
-Cos 105° = cos 75°
¼ ( ¼ (
Jadi,,, -cos 105° = cos 75°. Berarti sesuai dengan pola coscos. Terbukti
b.      α = 120,,, coscos
Cos (180° – α) =  -cos α
-Cos 120° = cos (180° – 120°)
-cos 120° = cos 60°
         ½     =    ½
Jadi,,, -cos 120° = cos 60°. Berarti sesuai dengan pola coscos. Terbukti.
c.       α = 135°,,, coscos
Cos (180° – α) =  -cos α
-Cos 135° = cos (180° – 135°)
-cos 135° = cos 45°
      ½   =  ½  
Jadi,,, -cos 135° = cos 45°. Berarti sesuai dengan pola coscos. Terbukti.
d.      α = 150°,,, coscos
Cos (180° – α) =  -cos α
-Cos 150° = cos (180° – 150°)
-cos 150° = cos 30°
    ½     =   ½    
Jadi,,, -cos 150° = cos 30°. Berarti sesuai dengan pola coscos. Terbukti.
e.      α = 165°,,, coscos
Cos (180° – α) = -cos α
-cos 165° = cos (180° – 165°)
-cos 165° = cos 15°
¼( ¼ (
Jadi,,, -cos 165° = cos 15°. Berarti sesuai dengan pola coscos. Terbukti.
                                                                                                          
Untuk pola yang ketiga :
                      Tan  tan        
                Juga bersesuaian dengan nilai tan (180° – α) =    -tan α
Mengapa tan α bertanda negatif dan tidak positif seperti sin α….???
karena  tan α yang berada di kwadran ke II bertanda negatif. Coba lihat kembali koordinat kartesius yang menyatakan bahwa tan α juga bertanda negatif seperti cos α  .
Dari keterangan tersebut tentunya belum cukup, mari kita buktikan dengan lebih jelas mengenai sin (180° – α) = sin α.
Koordinat kartesius
                                                    (-x, y)             
                                                                        r
                                                          Y   180-α
                                                                     – X
Jadi,,,,
Sin (180°–α)=  =  -tan α
Dan kita dapat membuktikan bahwa tan tan dengan membuktikan pada contoh di bawah ini :
Contoh 3 :
1.      Untuk pola tan  tan
Tentukan nilai dari,
a.      α = 1050           d. α = 150°
b.      α = 1200                     e. α = 165°      
c.       α = 1350
Pembahasan :
a.      α = 105°,,, tan  tan
tan (180° – α) = -tan α
-tan 105° = tan (180° – 105°)
-tan 105° = tan 75°
Jadi,,,  -tan 105° = tan 75°. Berarti sesuai dengan pola tan  tan. Terbukti.
b.      α = 120,,, tan  tan
tan (180° – α) = -tan α
-tan 120° = tan (180° – 120°)
-tan 120° = tan 60°
          
Jadi,,, -tan 120° = tan 60°. Berarti sesuai dengan pola tan  tan. Terbukti.
c.        α = 135°,,, tan  tan
tan (180° – α) = -tan α
-tan 135° = tan (180° – 135°)
-tan 135° = tan 45°
             1 = 1
Jadi,,, -tan 135° = tan 45°. Berarti sesuai dengan pola tan  tan. Terbukti.
d.      α = 150°,,, tan  tan
tan (180° – α) = -tan α
-tan 150° = tan (180° – 150°)
-tan 150° = tan 30°
       ⅓  = ⅓          
Jadi,,, -tan 150° = tan 30°. Berarti sesuai dengan pola tan  tan. Terbukti.
e.      α = 165°,,, tan  tan
tan (180° – α) = -tan α
-tan 165° = tan (180° – 165°)
-tan 165° = tan 15°
    2 –  = 2 – 
Jadi,,, -tan 150° = tan 30°. Berarti sesuai dengan pola tan  tan. Terbukti
Analisis bagian kedua :
2.      (1800 + α) dengan α
Sin (180° + α) = -sin α
Cos (180° + α) = -cos α
Tan (180° + α) = tan α
              
Nilai-nilai perbandingan di atas merupakan nilai perbandingan tirigonometri sudut di kwadran III (tan bernilai positif).
Koordinat kartesius, untuk kuadran III
                                            90°
                                         


                                         r             y            
                180°                  -x                 α    x                        0°    
             -y           180°+α                                360°
                                               r
KW III
              TAN    +
                                                        270°

 


Pada kuadran III dengan batas antara 1800 – 2700.
               Sin  
                Juga bersesuaian dengan nilai sin (180° + α) =     -sin α
Mengapa sin α bertanda negatif dan tidak positif seperti tan  α….???
karena  sin α berada di kwadran ke III bertanda negatif. Coba lihat kembali koordinat kartesius yang menyatakan bahwa sin α bertanda negatif.
Dari keterangan tersebut tentunya belum cukup, mari kita buktikan dengan lebih jelas mengenai sin (180° + α) = -sin α.
                                                            Koordinat kartesius           
90°
                             180°                              -x                                                      0°/360°
                                                 -y    180+α     r
                                                                         
                                                    (-x, -y)
                                                                              270°
Jadi,,,
Sin (180° + α) =  =  = -sin α
Dan kita dapat membuktikan bahwa pola sin  memang benar dengan membuktikan pada contoh di bawah ini :
Contoh 4 :
1.      Untuk pola sin  sin
Tentukan nilai dari,
a.      α = 195°                 d. α = 240°
b.      α = 210°                 e. α = 255°
c.       α = 225°
Pembahasan :
a.      α = 195°,,, sin  sin
Sin (180° + α) = -sin α
-Sin 195° = sin (180° + 195°)
-Sin 195° = sin 375°
 ¼(¼(
Jadi,,, -sin 195° = sin 375°. Berarti sesuai dengan pola sin  sin. Terbukti.
b.      α = 210°,,, sin  sin
Sin (180° + α) = -sin α
-Sin 210° = sin (180° + 210°)
-Sin 210° = sin 390°
            ½ = ½
Jadi,,, -sin 210° = sin 390°. Berarti sesuai dengan pola sin sin. Terbukti.
c.       α = 225°,,, sin  sin
Sin (180° + α) = -sin α
-Sin 225° = sin (180° + 225°)
-Sin 225° = sin 390o
       ½ = ½
 Jadi,,, -sin 210° = sin 390°. Berarti sesuai dengan pola sin sin. Terbukti.
d.      α = 240°,,, sin  sin
Sin (180° + α = -sin α
-Sin 240° = sin (180° + 240°)
-Sin 240° = sin 420o
 ½  = ½ 
Jadi,,, -sin 240° = sin 420°. Berarti sesuai dengan pola sin sin. Terbukti.
e.      α = 225°,,, sin  sin
Sin (180° + α) = -sin α
-Sin 255° = sin (180° + 255°)
-Sin 255° = sin 435°
                   ¼ () = ¼ ()      
                                 
               Cos    cos
                Juga bersesuaian dengan nilai cos (180° + α) =  -cos α
 Mengapa cos α bertanda negatif dan tidak positif seperti tan  α….???
Karena cos α berada di kwadran ke III bertanda negatif. Coba lihat kembali koordinat kartesius yang menyatakan bahwa cos α bertanda negatif.
Dari keterangan tersebut tentunya belum cukup, mari kita buktikan dengan lebih jelas mengenai cos (180° + α) = -cos α.
                                                                          
Koordinat kartesius
                                                                         90°           
                                          
                             180°                              -x                                                      0°/360°
                                                  -y    180+α     r
                                                                         
                                                    (-x, -y)
                                                                              270°
Jadi,,,
Cos (180° + α) =  =  = -cos α
Dan kita dapat membuktikan bahwa pola cos  cos memang benar dengan membuktikan pada contoh di bawah ini :
Contoh 5 :
1.      Untuk pola cos  cos
Tentukan nilai dari,
a.      α = 195°                 d. α = 240°
b.      α = 210°                 e. α = 255°
c.       α = 225°
Pembahasan :
a.      α = 195°,,, cos  cos
cos (180° + α) = -cos α
-cos 195° = cos (180° + 195°)
-cos 195° = cos 375°
¼( = ¼(
 Jadi,,, -cos 195° = cos 375°. Berarti sesuai dengan pola coscos. Terbukti.
b.      α = 210°,,, cos  cos
cos (180° + α) = -cos α
-cos 210° = cos (180° + 210°)
-cos 210° = cos 390°
       ½  = ½ 
Jadi,,, -cos 210° = cos 390°. Berarti sesuai dengan pola coscos. Terbukti.
c.       α = 225°,,, coscos
cos (180° + α) = -cos α
-cos 225° = cos (180° + 225°)
-cos 225° = cos 405°
 = 
Jadi,,, -cos 225° = cos 405°. Berarti sesuai dengan pola coscos. Terbukti.
d.      α = 240°,,, coscos
cos (180° + α) = -cos α
-Cos 240° = cos (180° + 240°)
-Cos  240° = cos 420°
              ½ = ½                                                                                       
Jadi,,, -cos 240° = cos 420°. Berarti sesuai dengan pola coscos. Terbukti.
e.      α = 225°,,, coscos
cos (180° + α) = -cos α
-Cos 255° = cos (180° + 255°)
-Cos 255° = cos 435°
¼( = ¼(
Jadi,,, -cos 240° = cos 420°. Berarti sesuai dengan pola coscos. Terbukti.
                Tan   tan
                Juga bersesuaian dengan nilai tan (180° + α) =   tan α
Mengapa tan α bertanda positif dan tidak negatif seperti sin α dan cos α….???
Karena tan α berada di kwadran ke III bertanda positif. Coba lihat kembali koordinat kartesius yang menyatakan bahwa tan α bertanda positif.
Dari keterangan tersebut tentunya belum cukup, mari kita buktikan dengan lebih jelas mengenai tan (180° + α) = tan  α.       Koordinat kartesius
                                                                         90°           
                                                          
                             180°                              -x                                                      0°/360°
                                                 -y    180+α     r
                                                                         
                                                    (-x, -y)             270°
Jadi,,,
 Tan (180° + α) =  =  = tan α
Dan kita dapat membuktikan bahwa pola tan  tan memang benar dengan membuktikan pada contoh di bawah ini :
Contoh 6 :
1.      Untuk pola tan  tan
Tentukan nilai dari,
a.      α = 195°                       d. α = 240°
b.      α = 210°                       e. α = 255°
c.       α = 225°
Pembahasan :
a.      α = 195°,,, tan  tan
tan (180° + α) = tan α
tan 195° = tan (180° + 195°)
tan 195° = tan 375°
    2 –  = 2 – 
 Jadi,,,  tan 195° = tan 375°. Berarti sesuai dengan pola tan  tan. Terbukti.
b.      α = 210°,,, tan  tan
 tan (180° + α) = tan α
tan 210° = tan (180° + 210°)
tan 210° = tan 390°
⅓ = ⅓
Jadi,,,  tan 210° = tan 390°. Berarti sesuai dengan pola tan  tan. Terbukti.
c.       α = 225°,,, tan  tan
tan (180° + α) = tan α
tan 225° = tan (180° + 225°)
tan 225° = tan 405°
            1 = 1
Jadi,,,  tan 225° = tan 405°. Berarti sesuai dengan pola tan  tan. Terbukti.
d.      α = 240°,,, tan  tan
tan (180° + α) = tan α
tan 240° = tan (180° + 240°)
Tan  240° = tan 420°
            √3 = √3
Jadi,,,  tan 240° = tan 420°. Berarti sesuai dengan pola tan  tan. Terbukti.
e.      α = 255°,,, tan  tan
tan (180° + α) = tan α
tan 255° = tan (180° + 255°)
Tan 255° = tan 435°
                       2 + √3 = 2 + √3
Jadi,,,  tan 240° = tan 420°. Berarti sesuai dengan pola tan  tan. Terbukti.
Analisis bagian ketiga :
        3.(3600 – α) dengan α
Sin (360° – α) = -sin α
Cos (360° – α) = cos α
Tan (360° – α) = -tan α
                              
Nilai-nilai perbandingan di atas merupakan nilai perbandingan tirigonometri sudut di kwadran IV (cos bernilai positif).
                         
Koordinat kartesius, untuk kuadran IV
                                            90°
                                         


                    360°–α           r                  y                   
                180°                                         α        x                     0°    
                                                   360°–α               360°
                                                        -y          r                -y      
                                                                    
                                                                      x             (x, -y)   
                                                         270°
Pada kuadran IV dengan batas antara 2700 – 3600.
               Sin  
                Juga bersesuaian dengan nilai sin (360° – α) =   -sin α
Mengapa sin α bertanda negatif dan tidak positif seperti cos  α….???
karena  sin α berada di kwadran ke IV bertanda negatif. Coba lihat kembali koordinat kartesius yang menyatakan bahwa sin α bertanda negatif.
Dari keterangan tersebut tentunya belum cukup, mari kita buktikan dengan lebih jelas mengenai sin (360° – α) = -sin α.
                                                            Koordinat kartesius           
90°
                             180°                                                             x                          0°/360°
                                                                                  r          360°–α    -y
                                                                                                                          
                                                                                                       (x, -y)         
                                                                               270°
Jadi,,,
Sin (360° – α) =  =  = -sin α
Dan kita dapat membuktikan bahwa pola sin  memang benar dengan membuktikan pada contoh di bawah ini :
Contoh 7 :
2.      Untuk pola sin  sin
Tentukan nilai dari,
a.      α = 285°                 d. α = 330°
b.      α = 300°                 e. α = 345°
c.       α = 315°
Pembahasan :
a.      α = 285°,,, sin  sin
Sin (360° – α) = -sin α
-Sin 285° = sin (360° – 285°)
-Sin 285° = sin 75°
¼(√6 + √2) = ¼(√6 + √2)
Jadi,,, -sin 285° = sin 75°. Berarti sesuai dengan pola sin  sin. Terbukti.
b.      α = 300°,,, sin  sin
Sin (360° – α) = -sin α
-Sin 300° = sin (360° – 300°)
-Sin 300° = sin 60°
        ½√3 = ½√3
Jadi,,, -sin 300° = sin 60°. Berarti sesuai dengan pola sin  sin. Terbukti.
c.       α = 315°,,, sin  sin
Sin (360° – α) = -sin α
-Sin 315° = sin (360° – 315°)
-Sin 315° = sin 45°
        ½√2 = ½√2
Jadi,,, -sin 315° = sin 45°. Berarti sesuai dengan pola sin  sin. Terbukti.
d.      α = 330°,,, sin  sin
Sin (360° – α) = -sin α
-Sin 330° = sin (360° – 330°)
-Sin 330° = sin 30°
            ½ = ½
Jadi,,, -sin 330° = sin 30°. Berarti sesuai dengan pola sin  sin. Terbukti.
e.      α = 345°,,, sin  sin
Sin (360° – α) = -sin α
-Sin 345° = sin (360° – 345°)
-Sin 345° = sin 15°
                   ¼(√6 – √2) = ¼(√6 – √2)
Jadi,,, -sin 345° = sin 15°. Berarti sesuai dengan pola sin  sin. Terbukti.
               Cos    cos
                Juga bersesuaian dengan nilai cos (360° – α) =   cos α
Mengapa cos α bertanda positif dan tidak negatif seperti sin α dan tan  α….???
Karena cos α berada di kwadran ke IV bertanda positif. Coba lihat kembali koordinat kartesius yang menyatakan bahwa cos α bertanda positif.
Dari keterangan tersebut tentunya belum cukup, mari kita buktikan dengan lebih jelas mengenai cos (360° – α) = cos α.              Koordinat kartesius         
90°
                                                         
                                    180°                                                            x                            0°/360°
                                                                                        r          360°–α    -y
                                                                          270°                                           (x, -y)
Jadi,,,
Cos (360° – α) =  =  = cos α
Dan kita dapat membuktikan bahwa pola cos  cos memang benar dengan membuktikan pada contoh di bawah ini :
Contoh 8 :
2.      Untuk pola cos  cos
Tentukan nilai dari,
d.      α = 285°                 d. α = 330°
e.      α = 300°                 e. α = 345°
f.        α = 315°
Pembahasan :
a.      α = 285°,,, cos  cos
cos (360° – α) = cos α
cos 285° = cos (360° – 285°)
cos 285° = cos 75°
¼(√6 – √2) = ¼(√6 – √2)                                                                                  
Jadi,,, -cos 285° = cos 75°. Berarti sesuai dengan pola coscos. Terbukti.
b.      α = 300°,,, cos  cos
cos (360° – α) = cos α
cos 300° = cos (360° – 300°)
cos 300° = cos 60°
            ½ = ½
Jadi,,, -cos 300° = cos 60°. Berarti sesuai dengan pola coscos. Terbukti.
c.       α = 315°,,, cos  cos
cos (360° – α) = cos α
cos 315° = cos (360° – 315°)
cos 315° = cos 45°
       ½√2 = ½√2
Jadi,,, -cos 315° = cos 45°. Berarti sesuai dengan pola coscos. Terbukti.
d.      α = 330°,,, cos  cos
cos (360° – α) = cos α
Cos 330° = cos (360° – 330°)
Cos  330° = cos 30°
         ½√3 = ½√3
Jadi,,, -cos 330° = cos 30°. Berarti sesuai dengan pola coscos. Terbukti.
e.      α = 345°,,, cos  cos
cos (360° – α) = cos α
Cos 345° = cos (360° – 345°)
Cos 345° = cos 15°
¼(√6 + √2) = ¼(√6 + √2)
Jadi,,, -cos 285° = cos 75°. Berarti sesuai dengan pola coscos. Terbukti.
               Tan   tan
                Juga bersesuaian dengan nilai tan (360° – α) =   -tan α
Mengapa tan α bertanda negatif dan tidak positif seperti cos α….???
Karena tan α berada di kwadran ke IV bertanda negatif. Coba lihat kembali koordinat kartesius yang menyatakan bahwa tan α bertanda negatif.
Dari keterangan tersebut tentunya belum cukup, mari kita buktikan dengan lebih jelas mengenai tan (360° – α) = -tan α.
                                                                          
Koordinat kartesius
                                                                         90°           
                                                          
                                              
                             180°                                                         x                              0°/360°
                                                                                   r        360°–α       -y        
                                                                                                          (x, -y)
                                                                               270°
Jadi,,,
 Tan (360° – α) =  =  = -tan α
Dan kita dapat membuktikan bahwa pola tan  tan memang benar dengan membuktikan pada contoh di bawah ini :
Contoh 9 :
1.      Untuk pola tan  tan
Tentukan nilai dari,
a.      α = 285°                       d. α = 330°
b.      α = 300°                       e. α = 345°
c.       α = 315°
Pembahasan :
a.      α = 285°,,, tan  tan
tan (360° – α) = -tan α
-tan 285° = tan (360° – 285°)
-tan 285° = tan 75°
     2 + √3 = 2 + √3                                                                                
Jadi,,,  tan 285° = tan 75°. Berarti sesuai dengan pola tan  tan. Terbukti.
b.      α = 300°,,, tan  tan
tan (360° – α) = -tan α
-tan 300° = tan (360° + 300°)
-tan 300° = tan 60°
           √3 = √3
Jadi,,,  tan 300° = tan 60°. Berarti sesuai dengan pola tan  tan. Terbukti.
c.       α = 315°,,, tan  tan
 tan (360° – α) = -tan α
-tan 315° = tan (360° – 315°)
-tan 315° = tan 45°
             1 = 1
Jadi,,,  tan 315° = tan 45°. Berarti sesuai dengan pola tan  tan. Terbukti.
d.      α = 330°,,, tan  tan
tan (360° – α = -tan α
-tan 330° = tan (360° – 330°)
-Tan  330° = tan 30°
          ⅓√3 = ⅓√3
Jadi,,,  tan 330° = tan 30°. Berarti sesuai dengan pola tan  tan. Terbukti.
e.      α = 345°,,, tan  tan
tan (360° – α) = -tan α
-tan 345° = tan (360° – 345°)
-Tan 345° = tan 15°
       2 – √3 = 2 – √3
Jadi,,,  tan 345° = tan 15°. Berarti sesuai dengan pola tan  tan. Terbukti.
               
Analisis bagian keempat :
4. ( – α) dengan α
Sin ( – α) = -sin α
Cos ( – α) = cos α
Tan ( – α) = -tan α
                              
Nilai-nilai perbandingan di atas merupakan nilai perbandingan tirigonometri sudut di kwadran IV (cos bernilai positif).
Koordinat kartesius, untuk kuadran IV
                                            90°
                                         

Cloud Callout: KW IV
                       360°–α                                                                                   COS    +
                180°                                            α     x                            0°    
                                             –α                            360°
                                                        -y                            -y      
                                                                         r
                                                                       x                              (x, -y)           
                                                          270°
Pada kuadran IV dengan batas antara 2700 – 3600.
               Sin  
                Juga bersesuaian dengan nilai sin (- α) =     -sin α
Mengapa sin α bertanda negatif dan tidak positif seperti cos  α….???karena  sin α berada di kwadran ke IV, bertanda negatif. Coba lihat kembali koordinat kartesius yang menyatakan bahwa sin α bertanda negatif. Dari keterangan tersebut tentunya belum cukup, mari kita buktikan dengan lebih jelas mengenai sin ( – α) = -sin α.Koordinat kartesius    
90°
                             180°                                                             x                          0°/360°
                                                                                          r              –α        -y
                                                                        270 °                                     (x, -y)                
Jadi,,,
Sin ( – α) =  =  = -sin α
Dan kita dapat membuktikan bahwa pola sin  memang benar dengan membuktikan pada contoh di bawah ini :
Contoh 10 :
1.      Untuk pola sin  sin
Tentukan nilai dari,
a.      α = 285°                 d. α = 330°
b.      α = 300°                 e. α = 345°
c.       α = 315°
Pembahasan :
a.      α = 285°,,, sin  sin
Sin ( – α) = -sin α
-Sin 285° = sin ( – 285°)
-Sin 285° = sin -285°
¼(√6 + √2) = ¼(√6 + √2)
Jadi,,, -sin 285° = sin -285°. Berarti sesuai dengan pola sin  sin. Terbukti.
b.      α = 300°,,, sin  sin
Sin ( – α) = -sin α
-Sin 300° = sin (- 300°)
-Sin 300° = sin -300°
        ½√3 = ½√3
Jadi,,, -sin 300° = sin -300°. Berarti sesuai dengan pola sin  sin. Terbukti.
c.       α = 315°,,, sin  sin
Sin ( – α) = -sin α
-Sin 315° = sin ( – 315°)
-Sin 315° = sin -315°
        ½√2 = ½√2
Jadi,,, -sin 315° = sin -315°. Berarti sesuai dengan pola sin  sin. Terbukti.
d.      α = 330°,,, sin  sin
Sin ( – α) = -sin α     
-Sin 330° = sin ( – 330°)
-Sin 330° = sin -330°
             ½ = ½
Jadi,,, -sin 330° = sin -330°. Berarti sesuai dengan pola sin  sin. Terbukti.
e.      α= 345°,,, sin  sin
Sin ( – α) = -sin α
-Sin 345° = sin ( – 345°)
-Sin 345° = sin -345°
¼(√6 – √2) = ¼(√6 – √2)
Jadi,,, -sin 345° = sin -345°. Berarti sesuai dengan pola sin  sin. Terbukti.
               Cos    cos
                Juga bersesuaian dengan nilai cos ( – α) =     cos α
Mengapa cos α bertanda positif dan tidak negatif seperti sin α dan tan  α….???
Karena cos α berada di kwadran ke IV, bertanda positif. Coba lihat kembali koordinat kartesius yang menyatakan bahwa cos α bertanda positif.
Dari keterangan tersebut tentunya belum cukup, mari kita buktikan dengan lebih jelas mengenai cos ( – α) = cos α.
                                                            Koordinat kartesius           
90°
                                                         
                                    180°                                                            x                            0°/360°
                                                                                                r             –α          -y
                                                                                                                              (x, -y)
                                                                              270°
Jadi,,,
Cos ( – α) =  =  = cos α
Dan kita dapat membuktikan bahwa pola cos  cos memang benar dengan membuktikan pada contoh di bawah ini :
Contoh 11 :
1.      Untuk pola cos  cos
Tentukan nilai dari,
a.      α = 285°                 d. α = 330°
b.      α = 300°                 e. α = 345°
c.       α = 315°
Pembahasan :
a.      α = 285°,,, cos  cos
cos ( – α) = cos α
cos 285° = cos ( – 285°)
cos 285° = cos -285°
¼(√3 +√2) = –¼(√6 +√2)
Jadi,,, sesuai dengan pola coscos. Terbukti.
b.      cos ( – α) = cos α
cos 300° = cos ( – 300°)
cos 300° = cos -300°
            ½ = ½
Jadi,,, sesuai dengan pola coscos. Terbukti.
c.       cos ( – α) = cos α
cos 315° = cos ( – 315°)
cos 315° = cos -315°
       ½√2 = -½√2
Jadi,,, sesuai dengan pola coscos. Terbukti.
d.      cos ( – α) = cos α
Cos 330° = cos ( – 330°)
Cos  330° = cos -330°
         ½√3 = -½√3
Jadi,,, sesuai dengan pola coscos. Terbukti.
e.      cos ( – α) = cos α
Cos 345° = cos ( – 345°)
Cos 345° = cos -345°
¼(√6 + √2) = – ¼(√6 + √2)
Jadi,,, sesuai dengan pola coscos. Terbukti.
               Tan   tan
                Juga bersesuaian dengan nilai tan ( – α) =     -tan α
Mengapa tan α bertanda negatif dan tidak positif seperti cos α….???Karena tan α berada di kwadran ke IV bertanda negatif. Coba lihat kembali koordinat kartesius yang menyatakan bahwa tan α bertanda negatif. Dari keterangan tersebut tentunya belum cukup, mari kita buktikan dengan lebih jelas mengenai tan ( – α) = -tan α.
Koordinat kartesius                            90°    
                                                          
                                              
                             180°                                                         x                              0°/360°
                                                                                         r            –α        -y        
                                                                                                          (x, -y)
                                                                               270°
Jadi,,,
 Tan ( – α) =  =  = -tan α
Dan kita dapat membuktikan bahwa pola tan  tan memang benar dengan membuktikan pada contoh di bawah ini :
Contoh 12 :
1.      Untuk pola tan  tan
Tentukan nilai dari,
a.      α = 285°                       d. α = 330°
b.      α = 300°                       e. α = 345°
c.       α = 315°
Pembahasan :
a.      α = 285°,,, tan  tan
tan ( – α) = -tan α
-tan 285° = tan ( – 285°)
-tan 285° = tan -285°
     2 + √3 =2 + √3   
 Jadi,,,  -tan 285° = tan -285°. Berarti sesuai dengan pola tan  tan. Terbukti.
b.      α = 300°,,, tan  tan
tan ( – α) = -tan α
-tan 300° = tan ( – 300°)
-tan 300° = tan -300°
            √3 = √3
Jadi,,,  -tan 300° = tan -300°. Berarti sesuai dengan pola tan  tan. Terbukti.
c.        α = 315°,,, tan  tan
tan ( – α) = -tan α
-tan 315° = tan ( – 315°)
-tan 315° = tan -315°
              1 = 1
Jadi,,,  -tan 315° = tan -315°. Berarti sesuai dengan pola tan  tan. Terbukti.
d.      α = 330°,,, tan  tan
tan ( – α) = -tan α
-tan 330° = tan ( – 330°)
-Tan  330° = tan -330°
          ⅓√3 = ⅓√3
Jadi,,,  -tan 300° = tan -300°. Berarti sesuai dengan pola tan  tan. Terbukti.
e.      α = 345°,,, tan  tan
tan ( – α) = -tan α
-tan 345° = tan ( – 345°)
-Tan 345° = tan -345°
       2 – √3 = 2 – √3
Jadi,,,  -tan 300° = tan -300°. Berarti sesuai dengan pola tan  tan. Terbukti.


Analisis bagian kelima :
5.      (900 – α) dengan α
Sin (90° – α) = cos α
Cos (90° – α) = sin α
Tan (90° – α) = cot α
                                        
Nilai-nilai perbandingan di atas merupakan nilai perbandingan tirigonometri sudut di kwadran I (semua bernilai positif).
                         
Koordinat kartesius, untuk kuadran I
                                            90°
                                         

                                                       
                                              R1           r                                         KW 1
                                             Y1                  y                           SEMUA    +                                                              
                180°                                          x1                                0°    
                                                  x                            360°
                                                                    
                                                                   
                                                                                     
                                                         270°
Pada kuadran I dengan batas antara 00 – 900.
               Sin   cos
                Juga bersesuaian dengan nilai sin (90° – α) =     cos α
Mengapa sin (90° – α) = cos α, berbeda dengan pola yang sebelumnya….???
Mari kita buktikan dengan koordinat kartesius berikut ini agar jelas.         
                                                                           
Koordinat kartesius
90°
                                                                                           X                     (x, y)
                                                                             y     90°–α        
                                                                                                r          
                                180°                                                                                       0°/360°
                                                                                                              
                                                                               
                                                                               270°
Jadi,,,
Sin (90° – α) =  =  = cos α
Dan kita dapat membuktikan bahwa pola sin  cos memang benar dengan membuktikan pada contoh di bawah ini :
Contoh 13 :
1.      Untuk pola sin  cos
Tentukan nilai dari,
a.      α = 15°                   d. α = 60°
b.      α = 30°                   e. α = 75°
c.       α = 45°
Pembahasan :
a.      α = 15°,,, sin  cos
Sin (90° – α) = cos α
Cos 15° = sin (90° – 15°)
Cos 15° = sin 75°
¼(√6 + √2) = ¼(√6 + √2)
Jadi,, sin 75° = cos 15°. Berarti sesuai dengan pola sin  cos. Terbukti.
b.      α = 30°,,, sin  cos
Sin (90° – α) = cos α
Cos 30° = sin (90° – 30°)
Cos 30° = sin 60°
    =  
Jadi,, sin 60° = cos 30°. Berarti sesuai dengan pola sin  cos. Terbukti.
c.       α = 45°,,, sin  cos
 (90° – α) = cos α
Cos 45° = sin (90° – 45°)
Cos  45° = sin 45°
   =     
Jadi,, sin 45° = cos 45°. Berarti sesuai dengan pola sin  cos. Terbukti.
d.      α = 60°,,, sin  cos
Sin (90° – α) = cos α
Cos  60° = sin (90° – 60°)
Cos 60° = sin 30°
          ½ = ½                                                                                      
Jadi,, sin 30° = cos 60°. Berarti sesuai dengan pola sin  cos. Terbukti.
e.      α = 75°,,, sin  cos
Sin (90° – α) = cos α
Cos 75° = sin (90° – 75°)
       Cos 75° = sin 15°
       ¼(√6 – √2) = ¼(√6 – √2)
Jadi,, sin 15° = cos 75°. Berarti sesuai dengan pola sin  cos. Terbukti.
Untuk pola yang kedua :
               Cos  sin
                Juga bersesuaian dengan nilai cos (90° – α) =    sin α
Mengapa cos (90° – α) = sin α, berbeda dengan pola yang sebelumnya….???
Mari kita buktikan dengan koordinat kartesius berikut ini agar jelas.         
                                                            Koordinat kartesius          
                                                                                           X                    (x, y)
                                                                                 y    90°–α
                                                                                               r                             0°                                                         
                                                                     
                                                                 
Jadi,,,,
cos (90°–α)=  =  sin α
Dan kita dapat membuktikan bahwa pola cos sin memang benar dengan contoh di bawah ini untuk pola cos sin  :
Contoh 2 :
2.      Untuk pola Cos  sin
Tentukan nilai dari
a.      α = 150             d. α = 60°
b.      α =  300                       e. α = 75°        
c.       α = 450
Pembahasan :
a.      α = 15°,,, cos  sin
Cos (90° – α) =  sin α
Sin 15° = cos (90° – 15)
Sin 15° = cos 75°
¼(√6 – √2) = ¼(√6 – √2)
Jadi,,, cos 75° = sin 15°. Berarti sesuai dengan pola cos sin. Terbukti.
b.      Cos 30°,,, cos sin
Cos (90° – α) =  sin α
Sin 30° = cos (90° – 30°)
Sin 30° = cos 60°
         ½     =    ½
Jadi,,,  cos 60° = sin 30°. Berarti sesuai dengan pola cos sin. Terbukti.
c.       Cos 45°,,, cos sin
Cos (90° – α) =  sin α
Sin 45° = cos (90° – 45°)
Sin 45° = cos 45°
      ½   =  ½  
Jadi,,,  cos 45° = sin 45°. Berarti sesuai dengan pola cos sin. Terbukti.
d.      Cos 60°,,, cos sin
Cos (90° – α) =  sin α
Sin 60° = cos (90° – 60°)
Sin 60° = cos 30°
    ½     =   ½    
Jadi,,, cos 30° = sin 60°. Berarti sesuai dengan pola cos sin. Terbukti.
e.      Cos 75°,,, cos sin
Cos (90° – α) = sin α
Sin 75° = cos (90° – 75°)
Sin 75° = cos 15°
¼(√6 + √2) = ¼(√6 + √2)
 Jadi,,, cos 15° = sin 75°. Berarti sesuai dengan pola cos sin. Terbukti.
Untuk pola yang ketiga :
                      Tan  cot        
                Juga bersesuaian dengan nilai tan (90° – α) =    cot α
Mengapa tan (90° – α) = cot α, berbeda dengan pola yang sebelumnya….???
Mari kita buktikan dengan koordinat kartesius berikut ini agar jelas.         
Koordinat kartesius
                                                                                   90°      X                    (x, y)
                                                                                  y   90°–α       
                                      180°                                                  r                             0°
                                                                                                                           360°
                                                                                                 
                                                                        270°
Jadi,,,,
Tan (90°–α)=  =  cot α
Dan kita dapat membuktikan bahwa tan cot dengan membuktikan pada contoh di bawah ini :
Contoh 3 :
3.      Untuk pola tan  cot
Tentukan nilai dari,
a.      α = 150             d. α = 60°
b.      α = 300                         e. α = 75°        
c.       α = 450
Pembahasan :
a.      α = 15°,,, tan  cot
tan (90° – α) = cot α
cot 15° = tan (90° – 15°)
cot 15° = tan 75°
 2 + √3 = 2 + √3
Jadi,,, tan 75° = cot 15°. Berarti sesuai dengan pola tan  cot. Terbukti.
b.      α = 30,,, tan  cot
tan (90° – α) = cot α
cot 30° = tan (90° – 30°)
cot 30° = tan 60°
        √3 = √3
Jadi,,, tan 60° = cot 30°. Berarti sesuai dengan pola tan  cot. Terbukti.
c.       α = 45°,,, tan  cot
tan (90° – α) = cot α
cot 45° = tan (90° – 45°)
cot 45° = tan 45°
          1 = 1
Jadi,,, tan 45° = cot 45°. Berarti sesuai dengan pola tan  cot. Terbukti.
d.      α = 60°,,, tan  cot
tan (90° – α) = cot α
cot 60° = tan (90° – 60°)
cot 60° = tan 30°
     ⅓√3 = ⅓√3               
Jadi,,, tan 30°= cot 60° Berarti sesuai dengan pola tan  cot. Terbukti.
e.      α = 75°,,, tan  cot
tan (90° – α) = cot α
cot 75° = tan (90° – 75°)
cot 75° = tan 15°
  2 – √3 = 2 – √3             
Jadi,,, tan 15°= cot 75° = tan 15°. Berarti sesuai dengan pola tan  cot. Terbukti
Analisis bagian keenam :
6.      (900 + α) dengan α
Sin (90° + α) = cos α
Cos (90° + α) = -sin α
Tan (90° + α) = -cot α
                                       
Nilai-nilai perbandingan di atas merupakan nilai perbandingan tirigonometri sudut di kwadran II (sin positif). Dari rumus tiga sudut di atas tidak menunjukkan bahwa sin yang bertanda positif melainkan cos yang positif. Karena pada rumus diatas berlaku pola sin  cos. Yang akan kita uraikan di bawah ini.
                                                                    
Koordinat kartesius, untuk kuadran I
90°
                                                                                -x1
                     R1          y1      r                 y
                                    180°                                                         x                           0/360°  
                                                                     
                       
                                                                                      270°        
Pada kuadran II dengan batas antara 900 – 1800.
               Sin   cos
                Juga bersesuaian dengan nilai sin (90° + α) =   -cos α
Mengapa sin (90° + α) = -cos α, berbeda dengan pola yang sebelumnya….???
Mari kita buktikan dengan koordinat kartesius berikut ini agar jelas.         
                                                         Koordinat kartesius
90°
                                                                         -x
                                                                       r            y         
                                180°                                                                                       0°/360°
                                                                                           
                                                                               
                                                                               270°
Jadi,,,
Sin (90° + α) =  =  = cos α
Dan kita dapat membuktikan bahwa pola sin  cos memang benar dengan membuktikan pada contoh di bawah ini :
Contoh 13 :
2.      Untuk pola sin  cos
Tentukan nilai dari,
a.      α =105°                  d. α = 150°
b.      α = 120°                 e. α = 165°
c.       α = 135°
Pembahasan :
a.      α = 105°,,, sin  cos
Sin (90° + α) = cos α
Cos 105° = sin (90° + 105°)
Cos 105° = sin 195°
¼(√6 – √2) = ¼(√6 – √2)
Jadi,, sin 195° = cos 105°. Berarti sesuai dengan pola sin  cos. Terbukti.
b.      α = 120°,,, sin  cos
Sin (90° + α) = cos α
Cos 120° = sin (90° + 120°)
Cos 120° = sin 210°
         =  
Jadi,, sin 210° = cos 120°. Berarti sesuai dengan pola sin  cos. Terbukti.
c.       α = 135°,,, sin  cos
Sin (90° + α) = cos α
Cos 135° = sin (90° + 135°)
Cos  135° = sin 225°
   =  – 
Jadi,, sin225° = cos 1355°. Berarti sesuai dengan pola sin  cos. Terbukti.
d.      α = 150°,,, sin  cos
Sin (90° + α) = cos α
Cos  150° = sin (90° + 150°)
Cos 150° = sin 240°
      – ½√3 = ½√3
Jadi,, sin 240° = cos 150°. Berarti sesuai dengan pola sin  cos. Terbukti.
e.      α = 165°,,, sin  cos
Sin (90° + α) = cos α
Cos 165° = sin (90° + 165°)
Cos 165° = sin 255°
-¼(√6 + √2) = -¼(√6 + √2)
Jadi,, sin 255° = cos 165°. Berarti sesuai dengan pola sin  cos. Terbukti.
Untuk pola yang kedua :
               Cos  sin
                Juga bersesuaian dengan nilai cos (90° + α) = – sin α
Mengapa cos (90° + α) = -sin α, berbeda dengan pola yang sebelumnya….???
Mari kita buktikan dengan koordinat kartesius berikut ini agar jelas.         
                                                            Koordinat kartesius
                                                                         90°
                                                                        x
                                    180°                              r             -y                                         0°
                                                                                                                          360°
                                                                                   
                                                                               270°
Jadi,,,,
cos (90°+α)=  =  -sin α
Dan kita dapat membuktikan bahwa pola cos sin memang benar dengan contoh di bawah ini untuk pola cos sin  :
Contoh 17 :
3.      Untuk pola Cos  sin
Tentukan nilai dari
a.      α = 1050           d. α = 150°
b.      α =  1200                   e. α = 165°      
c.       α = 1350
Pembahasan :
a.      α = 105°,,, cos  sin
Cos (90° + α) =  -sin α
-Sin 105° = cos (90° + 105)
-Sin 105° = cos 195°
-¼(√6 + √2) = –¼(√6 – √2)
Jadi,,, cos 195° = sin 105°. Berarti sesuai dengan pola cos sin. Terbukti.        
b.      Cos 120°,,, cos sin
Cos (90° + α) =  -sin α
-Sin 120° = cos (90° + 120°)
-Sin 120° = cos 210°
         -½√3 = -½√3
Jadi,,,  cos 210° = -sin 120°. Berarti sesuai dengan pola cos sin. Terbukti.
c.       Cos 135°,,, cos sin
Cos (90° + α) =  -sin α
-Sin 135° = cos (90° + 135°)
-Sin 135° = cos 225°
     – ½   = – ½  
Jadi,,,  cos 225° = sin 135°. Berarti sesuai dengan pola cos sin. Terbukti.
d.      Cos 150°,,, cos sin
Cos (90° + α) =  -sin α
-Sin 150° = cos (90° + 150°)
-Sin 150° = cos 240°
            -½ =   -½   
Jadi,,, cos 240° = -sin 150°. Berarti sesuai dengan pola cos sin. Terbukti.
e.      Cos 165°,,, cos sin
Cos (90° + α) = -sin α
-Sin 165° = cos (90° + 165°)
-Sin 165° = cos 255°
-¼(√6 – √2) = ¼(√6 – √2)
Jadi,,, cos 255° = -sin 165°. Berarti sesuai dengan pola cos sin. Terbukti.
Untuk pola yang ketiga :
                      Tan  cot        
                Juga bersesuaian dengan nilai tan (90° + α) =   -cot α
Mengapa tan (90° + α) = -cot α, berbeda dengan pola yang sebelumnya….???
Mari kita buktikan dengan koordinat kartesius berikut ini agar jelas.         
Koordinat kartesius
                                                                           90°     
                                                                              x   
                                      180°                           r            -y                                      0°
                                                                                                                           360°
                                                                                                 
                                                                        270°
Jadi,,,,
Tan (90°+α)=  =  -cot α
Dan kita dapat membuktikan bahwa tan cot dengan membuktikan pada contoh di bawah ini :
Contoh 3 :
4.      Untuk pola tan  cot
Tentukan nilai dari,
d.      α = 1050                       d. α = 150°
e.      α = 1200                                             e. α = 165°      
f.        α = 1350
Pembahasan :
f.        α = 105°,,, tan  cot
tan (90° + α) = -cot α
-cot 105° = tan (90° + 105°)
-cot 105° = tan 195°
 2 – √3 = 2 – √3
Jadi,,, tan 195° = -cot 105°. Berarti sesuai dengan pola tan  cot. Terbukti.
g.      α = 120,,, tan  cot
tan (90° + α) = -cot α
-cot 120° = tan (90° + 120°)
-cot 120° = tan 210°
        ⅓√3 = ⅓√3
Jadi,,, tan 210° = -cot 120°. Berarti sesuai dengan pola tan  cot. Terbukti.
h.      α = 135°,,, tan  cot
tan (90° + α) = -cot α
-cot 135° = tan (90° + 135°)
-cot 135° = tan 225°
          1 = 1
Jadi,,, tan 225° = -cot 135°. Berarti sesuai dengan pola tan  cot. Terbukti.
i.        α = 150°,,, tan  cot
tan (90° + α) = -cot α
-cot 150° = tan (90° + 150°)
-cot 150° = tan 240°
           √3 = √3              
Jadi,,, tan 240°= -cot 150° Berarti sesuai dengan pola tan  cot. Terbukti.
j.        α = 165°,,, tan  cot
tan (90° + α) = -cot α
-cot 165° = tan (90° + 165°)
-cot 165° = tan 255°
  2 + √3 = 2 + √3           
Jadi,,, tan 255°= -cot 165° . Berarti sesuai dengan pola tan  cot. Terbukti
Analisis bagian ketujuh :
7.      (2700 – α) dengan α
Sin (270° – α) = -cos α
Cos (270° – α) = -sin α
Tan (270° – α) = cot α
                                       
Nilai-nilai perbandingan di atas merupakan nilai perbandingan tirigonometri sudut di kwadran III (tan positif). Dari rumus tiga sudut di atas tidak menunjukkan bahwa tan α yang bertanda positif melainkan cot yang positif. Karena pada rumus diatas berlaku pola tan  cot. Yang akan kita uraikan di bawah ini.
                                                                    
Koordinat kartesius, untuk kuadran I
                                            90°
                                         
                                      
                                           
                                                                                                      
                               
                                                                                                       
                180°                                            α                              0°    
                   270°–α                                                         360°
            KW III                     r                -y       
          TAN    +                           -x                  
                                                                                     
                                                         270°
Pada kuadran II dengan batas antara 1800 – 2700
               Sin   cos
                Juga bersesuaian dengan nilai sin (270° – α) = – cos α
Mengapa sin (270° – α) = -cos α, berbeda dengan pola yang sebelumnya….???
Mari kita buktikan dengan koordinat kartesius berikut ini agar jelas.         
Koordinat kartesius
                                                                                90°                                                                                      
                                                                                      
                                                                                                           
                                180°                                                                                       0°/360°
                                                                  r   270°–α   -y                                           
                                                                          -x    
                                                                               270°
Jadi,,,
Sin (270° – α) =  =  = -cos α
Dan kita dapat membuktikan bahwa pola sin  cos memang benar dengan membuktikan pada contoh di bawah ini :
Contoh 13 :
f.        Untuk pola sin  cos
Tentukan nilai dari,
a.      α = 195°                 d. α = 240°
b.      α = 210°                 e. α = 255°
c.       α = 225°
Pembahasan :
a.      α = 195°,,, sin  cos
Sin (270° – α) = -cos α
-Cos 195° = sin (270° – 195°)
-Cos 195° = sin 75°
¼(√6 + √2) = ¼(√6 + √2)
Jadi,, sin 75° = -cos 195°. Berarti sesuai dengan pola sin  cos. Terbukti.
b.      α = 210°,,, sin  cos
Sin (270° – α) = -cos α
-Cos 210° = sin (270° – 210°)
-Cos 210° = sin 60°
    =  
Jadi,, sin 60° = -cos 210°. Berarti sesuai dengan pola sin  cos. Terbukti.
c.       α = 225°,,, sin  cos
Sin (270° – α) = -cos α
-Cos 225° = sin (270° – 225°)
-Cos 225° = sin 45°
   =     
Jadi,, sin 45°= -cos 225°. Berarti sesuai dengan pola sin  cos. Terbukti.
d.      α = 240°,,, sin  cos
Sin (270° – α) = -cos α
-Cos  240° = sin (270° – 240°)
-Cos 240° = sin 30°
             ½ = ½
Jadi,,, sin 30° = -cos 240°. Berarti sesuai dengan pola sin  cos. Terbukti.
e.      α = 225°,,, sin  cos
Sin (270° – α) = -cos α
-Cos 255° = sin (270° – 255°)
       -Cos 255° = sin 15°
       ¼(√6 + √2) = ¼(√6 + √2)
Jadi,,  sin 15° = -cos 225°. Berarti sesuai dengan pola sin  cos. Terbukti.
Untuk pola yang kedua :
               Cos  sin
                Juga bersesuaian dengan nilai cos (270° – α) = – sin α
Mengapa cos (270° – α) = -sin α, berbeda dengan pola yang sebelumnya….???
Mari kita buktikan dengan koordinat kartesius berikut ini agar jelas.         
                                                            Koordinat kartesius
                                                                                90°                                                                                      
                                                                                      
                                                                                                           
                                       180°                                                                         0°/360°
                                                                  r   270°–α   -y                                           
                                                                          -x    
                                                                               270°
Jadi,,,,
cos (270°–α)=  =  -sin α
Dan kita dapat membuktikan bahwa pola cos sin memang benar dengan contoh di bawah ini untuk pola cos sin  :
Contoh 2 :
f.        Untuk pola Cos  sin
Tentukan nilai dari
a.      α = 1950           d. α = 240°
b.      α = 2100                     e. α = 255°      
c.       α = 2250
Pembahasan :
a.      α = 195°,,, cos  sin
Cos (270° – α) =  -sin α
-Sin 195° = cos (270° – 195)
-Sin 195° = cos 75°
¼(√6 – √2) = ¼(√6 – √2)
Jadi,,, cos 75° = –sin 195°. Berarti sesuai dengan pola cos sin. Terbukti.
b.      Cos 210°,,, cos sin
Cos (270° – α) =  -sin α
-Sin 210° = cos (270° – 210°)
-Sin 210° = cos 60°
         ½     =    ½
Jadi,,, cos 60° = -sin 210°. Berarti sesuai dengan pola cos sin. Terbukti.
c.       Cos 225°,,, cos sin
Cos (270° – α) = -sin α
-Sin 225° = cos (270° – 225°)
-Sin 225° = cos 45°
      ½   =  ½  
Jadi,,, cos 60° = -sin 30°. Berarti sesuai dengan pola cos sin. Terbukti.
d.      Cos 240°,,, cos sin
Cos (270° – α) = -sin α
-Sin 240° = cos (270° – 240°)
-Sin 240° = cos 30°
    ½     =   ½                                    
Jadi,,, cos 30° = -sin 240°. Berarti sesuai dengan pola cos sin. Terbukti.
e.      Cos 255°,,, cos sin
Cos (270° – α) = -sin α
-Sin 255° = cos (270° – 255°)
-Sin 255° = cos 15°
Jadi,,, cos 15° = -sin 255°. Berarti sesuai dengan pola cos sin. Terbukti.
Untuk pola yang ketiga :
                      Tan  cot        
                Juga bersesuaian dengan nilai tan (270° – α) =  cot α
Mengapa tan (270° – α) = cot α, berbeda dengan pola yang sebelumnya….???
Mari kita buktikan dengan koordinat kartesius berikut ini agar jelas.         
                                                            Koordinat kartesius
                                                                                90°                                                                                      
                                                                                      
                                                                                                           
                                       180°                                                                         0°/360°
                                                                  r   270°–α   -y                                           
                                                                          -x    
                                                                               270°
Jadi,,,,
Tan (90°–α)=  =  cot α
Dan kita dapat membuktikan bahwa tan cot dengan membuktikan pada contoh di bawah ini :
Contoh 3 :
5.      Untuk pola tan  cot
Tentukan nilai dari,
a.      α = 1950           d. α = 240°
b.      α = 2100                     e. α = 255°      
c.       α = 2250
Pembahasan :
a.      α = 195°,,, tan  cot
tan (270° – α) = cot α
cot 195° = tan (270° – 195°)
cot 195° = tan 75°
2 + √3 = 2 + √3
Jadi,,, tan 75° = cot 195°. Berarti sesuai dengan pola tan  cot. Terbukti.
b.      α = 210,,, tan  tan
tan (270° – α) = cot α
cot 210° = tan (270° – 210°)
cot 210° = tan 60°
Jadi,,, tan 60° = cot 210°. Berarti sesuai dengan pola tan  cot. Terbukti.
c.       α = 225°,,, tan  cot
tan (270° – α) = cot α
cot 225° = tan (270° – 225°)
cot 225° = tan 45°
Jadi,,, tan 45° = cot 225°. Berarti sesuai dengan pola tan  cot. Terbukti.
d.      α = 240°,,, tan  cot
tan (270° – α) = cot α
cot 240° = tan (270° – 240°)
cot 240° = tan 30°        
Jadi,,, tan 30° = cot 240°. Berarti sesuai dengan pola tan  cot. Terbukti.
e.      α = 255°,,, tan  cot
tan (270° – α) = cot α
cot 255° = tan (270° – 255°)
cot 255° = tan 15°        
Jadi,,, tan 15° = cot 255°. Berarti sesuai dengan pola tan  cot. Terbukti


Analisis bagian kedelapan :
8.      (2700 + α) dengan α
Sin (270° + α) = -cos α
Cos (270° + α) = sin α
Tan (270° + α) = -cot α
                                       
Nilai-nilai perbandingan di atas merupakan nilai perbandingan tirigonometri sudut di kwadran IV, cos positif (cos (270° + α) = sin α).
                                                                    
Koordinat kartesius, untuk kuadran I
                                            90°
                                         
                                     
                                     –        
                                                                                                      
                             
                                                                                                          
                180°                                            α                              0°    
                                                                              360°
                                                         -y  270°+α      -r
                                                                   
                                                                          x           
                                                         270°
Pada kuadran IV dengan batas antara 2700 – 3600.
               Sin   cos
                Juga bersesuaian dengan nilai sin (90° + α) =   cos α
Mengapa sin (90° + α) = cos α, berbeda dengan pola yang sebelumnya….???
Mari kita buktikan dengan koordinat kartesius berikut ini agar jelas.         
                                                        
Koordinat kartesius
90°
                                                                                                          
                                                                                  
                                                                                                       
                                180°                                                                                       0°/360°
                                                                                                             
                                                                               
                                                                               270°
Jadi,,,
Sin (90° + α) =  =  = cos α
Dan kita dapat membuktikan bahwa pola sin  cos memang benar dengan membuktikan pada contoh di bawah ini :
Contoh 13 :
1.      Untuk pola sin  cos
Tentukan nilai dari,
a.      α = 285°                 d. α = 330°
b.      α = 300°                 e. α = 345°
c.       α = 315°
Pembahasan :
a.      α = 285°,,,
Sin (270° + α) = -cos α
-Cos 285° = sin (270° + 285°)
-Cos 285° = sin 555°
-¼(√6 – √2) = -¼(√6 – √2)
Jadi,, sin 555° = -cos 285°. Berarti sesuai dengan pola sin  cos. Terbukti.
b.      α = 300,,,
Sin (270° + α) = -cos α
-Cos 300° = sin (270° + 300°)
-Cos 300° = sin 570°
          =  
Jadi,, sin 570° = -cos 300°. Berarti sesuai dengan pola sin  cos. Terbukti.
c.       α = 315,,,
Sin (270° + α) = -cos α
-Cos 315° = sin (270° + 315°)
-Cos  315° = sin 585°
       – =    – 
Jadi,, sin 585° = -cos 315°. Berarti sesuai dengan pola sin  cos. Terbukti.
d.      α = 330,,,
Sin (270° + α) = -cos α
-Cos  330° = sin (270° + 330°)
-Cos 330° = sin 600°
       – ½√3 = – ½√3
Jadi,, sin 600° = -cos 330°. Berarti sesuai dengan pola sin  cos. Terbukti.
e.      α = 345,,,
Sin (270° + α) = -cos α
-Cos 345° = sin (270° + 345°)
-Cos 345° = sin 615°
– ½√3 = -½√3
Jadi,, sin 615° = -cos 345°. Berarti sesuai dengan pola sin  cos. Terbukti.
Untuk pola yang kedua :
               Cos  sin
                Juga bersesuaian dengan nilai cos (270° + α) =  sin α
Mengapa cos (270° + α) = sin α, berbeda dengan pola yang sebelumnya….???
Mari kita buktikan dengan koordinat kartesius berikut ini agar jelas.         
                                                            Koordinat kartesius          
                                                                                          
                                                                                 
                                                                                              0°                                                        
                                                                     
                                                                 
Jadi,,,,
cos (270°+α)=  =  sin α
Dan kita dapat membuktikan bahwa pola cos sin memang benar dengan contoh di bawah ini untuk pola cos sin  :
Contoh 23 :
1.      Untuk pola Cos  sin
Tentukan nilai dari
a.      α = 2850           d. α = 330°
b.      α =  3000                   e. α = 345°      
c.       α = 3150
Pembahasan :
a.      α = 285°,,, cos  sin
Cos (270° + α) =  sin α
Sin 285° = cos (270° + 285)
Sin 285° = cos 555°
-¼(√6 + √2) = –¼(√6 + √2)
Jadi,,, cos 555° = sin 255°. Berarti sesuai dengan pola cos sin. Terbukti.        
b.      Cos 300°,,, cos sin
Cos (270° + α) =  sin α
Sin 300° = cos (270° + 300°)
Sin 300° = cos 570°
     -½√3  =    ½ √3
Jadi,,,  cos 570° = sin 300°. Berarti sesuai dengan pola cos sin. Terbukti.
c.       Cos 315°,,, cos sin
Cos (270° + α) =  sin α
Sin 315° = cos (270° + 315°)
Sin 315° = cos 585°
   -½   =  -½  
Jadi,,,  cos 585° = sin 315°. Berarti sesuai dengan pola cos sin. Terbukti.
d.      Cos 330°,,, cos sin
Cos (270° + α) =  sin α
Sin 330° = cos (270° + 330°)
Sin 330° = cos 600°
      -½     =   -½    
Jadi,,, cos 600° = sin 330°. Berarti sesuai dengan pola cos sin. Terbukti.
e.      Cos 345°,,, cos sin
Cos (270° + α) = sin α
Sin 345° = cos (270° + 345°)
Sin 345° = cos 615°
-¼(√6 – √2) = -¼(√6 – √2)
 Jadi,,, cos 615° = sin 345°. Berarti sesuai dengan pola cos sin. Terbukti.
Untuk pola yang ketiga :
                      Tan  cot        
                Juga bersesuaian dengan nilai tan (270° + α) =  cot α
Mengapa tan (270° + α) = -cot α, berbeda dengan pola yang sebelumnya….???
Mari kita buktikan dengan koordinat kartesius berikut ini agar jelas.         
Koordinat kartesius
                                                                                        90°    
                                                                                 
                                      180°                                                                             0°
                                                                                                                           360°
                                                                                                 
                                                                        270°
Jadi,,,,
Tan (270°+α)=  =  -cot α
Dan kita dapat membuktikan bahwa tan cot dengan membuktikan pada contoh di bawah ini :
Contoh 24 :
1.      Untuk pola tan  cot
Tentukan nilai dari,
a.      α = 2850           d. α = 330°
b.      α = 3000                     e. α = 345°      
c.       α = 3150
Pembahasan :
a.      α = 285°,,, tan  cot
tan (270° + α) = -cot α
-cot 285° = tan (270° + 285°)
-cot 285° = tan 555°
 2 – √3 = 2 – √3
Jadi,,, tan 555° = -cot 285°. Berarti sesuai dengan pola tan  cot. Terbukti.
b.      α = 300,,, tan  cot
tan (270° + α) = -cot α
-cot 300° = tan (270° + 300°)
-cot 300° = tan 570°
    ⅓   √3 = ⅓   √3
Jadi,,, tan 570° = -cot 300°. Berarti sesuai dengan pola tan  cot. Terbukti.
c.       α = 315°,,, tan  cot
tan (270° + α) = -cot α
-cot 315° = tan (270° + 315°)
-cot 315° = tan 585°
          1 = 1
Jadi,,, tan 585° = -cot 315°. Berarti sesuai dengan pola tan  cot. Terbukti.
d.      α = 330°,,, tan  cot
tan (270° + α) = -cot α
-cot 330° = tan (270° + 330°)
-cot 330° = tan 600°
           √3 = √3              
Jadi,,, tan 600°= -cot 330° Berarti sesuai dengan pola tan  cot. Terbukti.
e.      α = 345°,,, tan  cot
tan (270° + α) = -cot α
-cot 345° = tan (270° + 345°)
-cot 345° = tan 615°
  2 + √3 = 2 + √3           
Jadi,,, tan 615°= -cot 345°. Berarti sesuai dengan pola tan  cot. Terbukti
Related Story