Rabu, Desember 4, 2024
Kalkulus IKuliah

Derivatif / Fungsi Turunan (Tugas)

Jazuli rahman 58 Views 0 Comments

DERIVATIF /
FUNGSI TURUNAN
Definisi : Misalnya y = f(x) fungsi yang terdefinisi pada
domain (df), X0 ∈
df. Jika  ada nilainya, maka f
dikatakan mempunyai derivatif/turunan (terdifferensial/differensiabel) di X0.
Atau
misalkan X0 + h = X ⟶ h = X – X0
                                    h
⟶ 0 = X – X0
maka  = .
Nilai limit di atas dinamakan derivatif/turunan fungsi f di X0.
Ditulis = f’(x0) atau atau atau atau Df(x0).
Jadi f’(X0) =  asal nilai limit ini
ada
Contoh 1 :
Diketahui. Carilah derivatif/turunan fungsi f di x = 0 ?
Jawab :
F’(0) = = =  = … ?
F(x) = |x| Þ
f(h) = |h| =
Ø  = = = 1
Ø  = = = -1
Jadi  tidak ada Þ f’(0)
tidak ada.
RUMUS –
RUMUS DASAR FUNGSI TURUNAN
1.     
F(x) = C Þ f’(x) = 0 dimana C =
Konstanta
2.     
F(x) = Xn Þ f’(x) = n
. Xn – 1
3.     
F(x) = C . Xn Þ f’(x) = n
. C Xn – 1
4.     
F(x) = g(x) ± h(x) Þ f’(x) = g’(x) ± h’(x)
5.     
F(x) = U . V Þ f’(x) = U’.V + U.V’
6.     
F(x) =  Þ f’(x) =
Contoh 2 :
Tentukan f’(x) fungsi f(x) = 3x3 – 2x2 + 1 ?
Jawab :
f(x) = 3x3 – 2x2 + 1 maka f’(x) = 9x2
– 4x kalau ditanya f”(x) = 18x – 4 misalkan x = 2 maka nilai dari   f”(x) = 18 (2) – 4 = 36 – 4 = 32.
Contoh 3 : Tentukan
f’(x) fungsi f(x) = (4x – 1)(2x3 + 4x) ?
Jawab :
f(x) = (4x – 1)(2x3 + 4x) fungsi ini bisa
diselesaikan dengan bentuk f(x) = U . V Þ f’(x) = U’.V + U.V’
maka f’(x) = 4(2x3 + 4x) + (4x – 1)(6x2
+ 4)
                  = 8x3 + 16x + 24x3
– 6x2 + 16x – 4
                  = 32x3 – 6x2 + 32x
– 4
Contoh 4 : Tentukan
f’(x) fungsi f(x) = (2x2 – 1)2 ?
Jawab :
f(x) = (2x2 – 1)2 = 4x4 – 4x2
+ 1 maka f’(x) = 16x3 – 8x
Contoh 5 :
Tentukan f’(x) fungsi f(x) =  ?
Jawab :
f(x) =  fungsi ini dapat
diselesaikan dengan f(x) =  Þ f’(x) =  maka
f’(x) = =
Contoh 6 : Tentukan
f’(x) fungsi f(x) = (2x5 – 4x2 – 3x – 1)20 ?
bagaimana cara menjabarkannya ? tentu membutuhkan banyak tenaga yang terbuang,
maka dari itu untuk menyelesaikan contoh diatas dirumuskan Teorema Aturan
rantai untuk mencari turunan fungsi komposisi sebagai berikut :
Bila y = f(u), u = u(x) maka y’ = = f’(u).u’(x) atau
Bila y = g o f = g(f(x)) maka y’= = g’(f(x)).f’(x)
Pada contoh diatas maka f(x) = (2x5 – 4x2
– 3x – 1)20
Misalkan y = f(x) = (2x5 – 4x2 – 3x –
1)20
              Y = U20 dengan U = 2x5
– 4x2 – 3x – 1 dimana U’ = 10x4 – 8x – 3
  = 20 U19
(10x4 – 8x – 3)
                        =
20 (2x5 – 4x2 – 3x – 1)19 (10x4 –
8x – 3)
Contoh 7 :
Tentukan f’(x) fungsi f(x) = 1 + ?
Jawab :
Misalkan y = f(x) = 1 +  maka
Y = 1 + dimana U =
                               U = 1 + dimana V =
                                                                V = 1 + dimana W =
Jadi turunan dari f(x) = 1 + maka
f’(x) =
        =
        = =
MAKNA
GEOMETRI FUNGSI TURUNAN
Seperti telah dijelaskan bahwa , y’ atau f’(x) menyatakan gradien garis singgung
di titik (x, f(x)) pada kurva  y = f(x).
Jadi gradien garis singgung di sebuah titik P (x1, f(x1))
adalah m = f’(x1).
Persamaan Garis Singgung di
P(x1, y1) dengan gradien = m :
            y – y1 = m(x – x1)
dimana y1 = f(x1)
Garis normal adalah garis yang tegak lurus garis
singgung dititik singgung. Gradien garis normal di P(x1, f(x1))
adalah
Persamaan Garis Normal :
Contoh : Tentukan gradien dan persamaan garis singgung y = 2x3
– x2 + x + 7 pada titik x = -1. Tentukan pula persamaan garis
normalnya ?
Jawab :
y = 2x3 – x2 + x + 7 maka = 6x2 – 2x + 1
Ø  Untuk
mendapatkan gradiennya maka Substitusikan x = -1 ke |x = -1 sehingga didapat              = 6(-1)2 – 2(-1) + 1 maka f’(-1) = 9 sehingga m1
= 9
Ø  Untuk
mendapatkan titik singgungnya substitusikan x = -1 ke y = 2x3 – x2
+ x + 7 sehingga didapat :
y = 2x3
– x2 + x + 7
   = 2(-1)3 – (-1)2 + (-1)
+ 7
   = 3 jadi titiknya (-1, 3)
Ø  Persamaan
garis singgungnya adalah
y – y1
= m(x – x1)
y – 3 = 9
(x + 1)
y – 3 = 9x
+ 9
y = 9x+ 12
Ø  Persamaan
garis normalnya adalah
Gradien
garis normal di P(x1, f(x1)) adalah  maka  sehingga persamaan
garis normalnya adalah
Y – 3 = (x + 1)
Y – 3 = x  (ruas kanan dan kiri
dikalikan 9)
9y – 18 =
-x – 1 sehingga didapat x + 9y – 17 = 0 atau
Soal buku paket pada Hal 77 no : 11
Carilah persamaan garis singgung dan garis normal xy – y + 1
= 0 disuatu titik dimana koefisien arah garis singgungnya = 1.
Jawab :
Persamaan garis normal xy – y + 1 = 0 dirubah sehingga
menjadi
xy – y + 1 = 0
 y(x – 1) = -1
             
Dicari turunannya sehingga didapat :
= =  = = =
Koefisien gradien arah garis singgung ms = 1 maka f’(x) = 1
sehingga didapat :
 = 1
X2 – 2x + 1 = 1
X2 – 2x = 0 maka didapat x(x – 2) = 0 ⟶ x1= 0 dan x2
= 2
ü  Untuk
x = 0 disubstitusikan
= 1 maka titiknya adalah (0, 1)
ü  Untuk
x = 2 disubstitusikan
= -1 maka titiknya adalah (2, -1)
Ø  Untuk
x = 0 dititik (0, 1) persamaan garis singgung dan garis normalnya adalah
  • Persamaan garis singgungnya
y – y1
= m(x – x1)
Y – 1 = 1
(x – 0)
Y = x + 1
  • Persamaan garis normalnya
Gradien mn
= = = -1
y – y1
= m(x – x1)
y – 1 = -1
(x – 0)
y = -x + 1
Ø  Untuk
x = 2 dititik (2, -1) persamaan garis singgung dan garis normalnya adalah
  • Persamaan garis singgungnya
y – y1
= m(x – x1)
Y + 1 = 1(x
– 2)
    Y = x – 3
  • Persamaan garis normalnya
Gradien mn
= = = -1
y – y1
= m(x – x1)
Y + 1 =
-1(x – 2)
    Y = -x + 1

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *