TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
Bentuk fungsi terbagi menjadi 2 yaitu fungsi
eksplisit (y = f(x) atau x = g(y)) dan fungsi implisit f(x, y) = 0.
eksplisit (y = f(x) atau x = g(y)) dan fungsi implisit f(x, y) = 0.
Misalkan
tentukanlah turunan dari
tentukanlah turunan dari
·
Fs
Eksplisit ⟶ y = x2 + 2x maka
= 2x + 2
Fs
Eksplisit ⟶ y = x2 + 2x maka
= 2x + 2
·
Fs
Implisit ⟶2x2y + 4x – 1 = 0 maka 2x2y
= -4x + 1 sehingga
Fs
Implisit ⟶2x2y + 4x – 1 = 0 maka 2x2y
= -4x + 1 sehingga
Misalkan
bentuk implisit x2y3 + 2xy2 – 3x + y – 1 = 0
maka y(x2y2 + 2xy + 1) – 3x – 1 = 0 maka dirubah
bentuknya menjadi
bentuk implisit x2y3 + 2xy2 – 3x + y – 1 = 0
maka y(x2y2 + 2xy + 1) – 3x – 1 = 0 maka dirubah
bentuknya menjadi
Differensial Parsial
dan Differensial Total
dan Differensial Total
Definisi
: dari fungsi f(x, y) = 0 yang dimaksud
: dari fungsi f(x, y) = 0 yang dimaksud
1.
= turunan parsial di f terhadap x ; selain x dianggap
konstan(y dianggap konstan)
= turunan parsial di f terhadap x ; selain x dianggapkonstan(y dianggap konstan)
2.
= turunan parsial di f terhadap y ; selain y dianggap
konstan(x dianggap konstan)
= turunan parsial di f terhadap y ; selain y dianggapkonstan(x dianggap konstan)
3.
df
=dx + dy
df
=
dx + dy dan disebut DifferensialParsial
df
=dx + dy disebut Differensial Total
=
dx + dy disebut Differensial Total
Turunan Pertama Fungsi
f(x, y) = 0 maka df =dx + dy = 0 berarti 
f(x, y) = 0 maka df =
dx + dy = 0 berarti
Turunan Kedua
dirumuskan :
dirumuskan :
Cara menyelesaikan soal
bentuk Differensial Total
bentuk Differensial Total
1.
Cara
I
Cara
I
Misalkan f(x, y) adalah fungsi 2 variabel yang bisa
diturunkan differensial total di F adalah df (x, y) =dx + dy
diturunkan differensial total di F adalah df (x, y) =
dx + dy
Contoh : Tentukanlah turunan pertama dari f(x, y) =
4x2y + 3xy3 – 2x + 1
4x2y + 3xy3 – 2x + 1
Jawab :
Tentukan dulu nilai dari dan sehingga didapat :
dan sehingga didapat := 8xy + 3y3 – 2 dan = 4x2 + 9xy2 maka differensial totalnyaadalah
df (x, y) = dx + dy
dx + dy
df (x, y) = (8xy + 3y3 – 2) dx + (4x2
+ 9xy2) dy
+ 9xy2) dy
dari f(x, y) = 0
df(x , y)
= d(0)
= d(0)
dx + dy = 0dy = 
dx sehingga 
2.
Cara
II
Cara
II
- Masing – masing diturunkan
terhadap x, y dianggap fungsi x (gunakan aturan rantai) - Nyatakan
dalam x dan y
Contoh : Tentukanlah turunan pertama dari x2
+ y2 = 100
+ y2 = 100
Cara I :
x2 + y2 – 100 = 0
f(x,y) = x2 + y2 – 100 = 0
= 2x dan = 2y jadi maka 
= 
Cara II :
x2 + y2 – 100 = 0
(x2 + y2) = (100) dimana y fungsix
(y2) = 
(y2) .
= 2y
2x + 2y = 0
= 0
2y = – 2x
= – 2x =
TURUNAN FUNGSI
TRIGONOMETRI
TRIGONOMETRI
Rumus – Rumus Turunan
Fungsi Trigonometri
Fungsi Trigonometri
1.
(sin x) = cos x
(sin x) = cos x
2.
(cos x) = – sin x
(cos x) = – sin x
3.
(tan x) = sec2 x
(tan x) = sec2 x
4.
(cot x) = – cosec2 x
(cot x) = – cosec2 x
5.
(sec x) = sec x . tan x
(sec x) = sec x . tan x
6.
(cosec x) = – cosec x . cot x
(cosec x) = – cosec x . cot x
Contoh 1 : Tentukan turunan pertama dari y = cos3(4x5
– 2x2 + 1)
– 2x2 + 1)
Jawab
:
:
y
= cos3(4x5 – 2x2 + 1)
= cos3(4x5 – 2x2 + 1)
= (cos(4x5 – 2x2 + 1))3
Misalkan
y = U3 dengan U = cos(4x5 – 2x2 + 1)
y = U3 dengan U = cos(4x5 – 2x2 + 1)
U = cos V dengan V = 4x5 – 2x2
+ 1
+ 1
= 
. 
. 
= 3U2 . (- sin V) (20x4
– 4x)
– 4x)
= 3 cos2(4x5 – 2x2
+ 1)(- sin(4x5 – 2x2 + 1))( 20x4 – 4x)
+ 1)(- sin(4x5 – 2x2 + 1))( 20x4 – 4x)
Contoh 2 : Tentukanlah turunan pertama dari 2y2
+ 4xy + sin(xy2) – 1 = 0
+ 4xy + sin(xy2) – 1 = 0
Jawab
:
:
2y2
+ 4xy + sin(xy2) – 1 = 0 gunakanlaah aturan rantai U.V = U’V +UV’
+ 4xy + sin(xy2) – 1 = 0 gunakanlaah aturan rantai U.V = U’V +UV’
4y.+ 4(1 . y + x . 1.) + cos (xy2) (1. y2 + x . 2y . ) = 0
+ 4(1 . y + x . 1.) + cos (xy2) (1. y2 + x . 2y . ) = 0(4y + 4x + 2xy cos(xy2) = – 4y – y2cos(xy2)
= 
Contoh 3 : Tentukanlah turunan pertama dari y =
cos (2x + y) + sin (2y – x)
cos (2x + y) + sin (2y – x)
Jawab
:
:
y
= cos (2x + y) + sin (2y – x)
= cos (2x + y) + sin (2y – x)
y
– cos(2x + y) – sin(2y – x) = 0
– cos(2x + y) – sin(2y – x) = 0
+ sin(2x + y) . (2 +1.
) – cos(2y – x) . (2. – 1) = 0+ 2 sin(2x + y) + sin(2x + y) – . 2 cos(2y – x) + cos (2y – x) = 0(1 + sin(2x + y) – 2 cos (2y – x)) = – 2sin (2x + y) – cos(2y– x)
= 
TURUNAN FUNGSI
SIKLOMETRI
SIKLOMETRI
Rumus – Rumus Turunan
Fungsi Siklometri
Fungsi Siklometri
1.
(arc sin x) = 
(arc sin x) =
2.
(arc cos x) = 
(arc cos x) =
3.
(arc tan x) = 
(arc tan x) =
4.
(arc cot x) = 
(arc cot x) =
5.
(arc sec x) = 
(arc sec x) =
6.
(arc cosec x) = 
(arc cosec x) =
TURUNAN FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA
1.
(alog x) = 
(alog x) =
2.
(ln x) = 
(ln x) =
3.
(ax) = ax ln a
(ax) = ax ln a
4.
(ex) = ex
(ex) = ex
Contoh 1 : Tentukanlah turunan pertama dari y =
arc
+ 
arc
+
Jawab
:
:
y
= arc +
= arc
+
= 
+ 
+
= 
– 
–
= – 
–
Contoh 2 : Tentukanlah turunan pertama dari y =
arc tan tan3 x2y3
arc tan tan3 x2y3
Jawab
:
:
y
= arc tan tan3 x2y3
= arc tan tan3 x2y3
y
= arc tan U = 
dimana U = tan3
x2y3 = (tan x2y3)3 = V3
dimana V = tanx2y3
= arc tan U
= dimana U = tan3x2y3 = (tan x2y3)3 = V3
dimana V = tanx2y3
V
= tan W dimana W = x2y3
= tan W dimana W = x2y3
= . . 
.
= 
= 
=
= 
Contoh 3 :
Tentukanlah turunan pertama dari arc sin (xy) + arc cos (xy2)
= xy
Tentukanlah turunan pertama dari arc sin (xy) + arc cos (xy2)
= xy
Jawab
:
:
arc
sin (xy) + arc cos (xy2) = xy
sin (xy) + arc cos (xy2) = xy
. (1 . y + x . 1 . ) + 
= (1 . y + x . 1.)
+ 
. – 
– 
.= y + x . (–– x ) = – + + y=
Contoh 4 : Tentukanlah turunan pertama dari 
Jawab
:
:
fungsi di atas dapat
diselesaikan dengan f(x) =
Þ f’(x) = 
maka
diselesaikan dengan f(x) =
Þ f’(x) = maka
⟺
⟺
– 
= 0
– = 0
⟺
– 
–
⟺
– 
–
⟺
– 
= 
– =
⟺ 
=
=
⟺ = 
=
Contoh 5 : Tentukanlah turunan pertama dari y = 
Dikerjakan
mahasiswa sebagai latihan
mahasiswa sebagai latihan
Contoh 6 : Tentukanlah turunan pertama dari y =
33x – 44x-1
33x – 44x-1
Dikerjakan
mahasiswa sebagai latihan
mahasiswa sebagai latihan
Jawaban Contoh 5
:
:
y =
y = U3 dengan U = 
U
= ln V dengan V =
= ln V dengan V =
= 3U2 . 
. 
+ x3 . 
. 
= 3 ln2 x3
.. ( + x3 . . )= 
= 
Jawaban Contoh 6
:
:
y = 33x – 44x-1
= 
Kita cari satu persatu terlebih dahulu sehingga
didapat :
didapat :
sehingga y’ = 3Udimana U = 3x
= 3U ln 3 .3 = 33x ln 3 . 3 = 33x+1 ln 3
sehingga y’ = 4U dimana U = 4x – 1
= 4U ln 4 . 4 = 44x-1 ln 4 . 4 = 44x-1+1ln 4 = 44x ln 4
Turunan Pertama dari y = 33x – 44x-1
adalah
adalah
= = 33x ln 3 . 31 – 44x-1 ln 4. 41
= 33x+1
ln 3 – 44x ln 4
ln 3 – 44x ln 4
Turunan Pertama dari y = 33x – 44x-1
adalah 33x+1 ln 3 – 44x ln 4
adalah 33x+1 ln 3 – 44x ln 4
Catatan :
1.
Y = xn ⟶
y’ = n.xn-1
Y = xn ⟶
y’ = n.xn-1
2.
Y = ax ⟶
y’ = ax ln a
Y = ax ⟶
y’ = ax ln a
3.
Y = f(x)g(x)
⟶
y’ = … ?
Y = f(x)g(x)
⟶
y’ = … ?
Penurunan Fungsi Secara Logaritmis
Y =
f(x)g(x)
f(x)g(x)
Contoh : Tentukanturunan pertama dari y = sin xcos x ?
Jawab :
ln y = ln sin xcos x
ln y = cos x . ln sin x ⟹
ingat bahwa turunan dari u.v = u’v + uv’
ingat bahwa turunan dari u.v = u’v + uv’
= – sin x . ln sin x + cos x . 
. cos x= y (- sin x . ln sin x + 
)
= sin xcos
x (- sin x . ln sin x +)
x (- sin x . ln sin x +
)
Turunan
Fungsi Parameter
Fungsi Parameter
Fungsi dalam parameter ditulis :
; t parameter
Mencari turunan fungsi dalam bentuk parameter :
⟹
= 
Rumus : ⟶
⟹
Turunan pertama
⟶ ⟹Turunan pertama
Rumus : 
⟹
Turunan Kedua
⟹Turunan Kedua
Contoh 1
: Tentukandan 
dari 
: Tentukan
dan dari
Jawab :
x = 2t2 + t maka 
= 4t + 1 dan 
= 4
= 4t + 1 dan = 4
y = t3 – 3t2 maka 
= 3t2 – 6t dan 
= 6t – 6
= 3t2 – 6t dan = 6t – 6= 
dan = 
= 
Contoh 2
: Tentukandan dari 
: Tentukan
dan dari
Jawab :
x = r cos t ⟶ = -r sin t dan = -r cos t
= -r sin t dan = -r cos t
y = r sin t ⟶ = r cos t dan = -r sin t
= r cos t dan = -r sin t= 
= – cot t= 
= 
Contoh 3
: Tentukan dari 
: Tentukan
dari
Jawab :
x = sin (2t2 + 1) maka = cos (2t2 + 1) . 4t = 4t cos (2t2 + 1)
= cos (2t2 + 1) . 4t = 4t cos (2t2 + 1)= 
y = ln2 t maka = 2 ln t . 
= 2 . ln t
= 2 ln t . = 2 . ln t = 
= 
= 
Turunan
Tingkat Tinggi
Tingkat Tinggi
Turunan kedua dari fungsi f(x)
didapatkan dengan menurunkan sekali lagi bentuk turunan pertama. Demikian
seterusnya untuk turunan ke-n didapatkan dari penurunan bentuk turunan ke-(n –
1).
didapatkan dengan menurunkan sekali lagi bentuk turunan pertama. Demikian
seterusnya untuk turunan ke-n didapatkan dari penurunan bentuk turunan ke-(n –
1).
Turunan pertama f’(x) = 
Turunan kedua f”(x) = 
Turunan ketiga f’”(x) = 
Turunan ke-n f (n) (x) = 
= 
= 
= =
Contoh
1 : Tentukan turunan ketiga dari f(x) = 3x2
+ 4x – 1
1 : Tentukan turunan ketiga dari f(x) = 3x2
+ 4x – 1
Jawab :
f’(x) = 6x + 4
f”(x) = 6
f”’(x) = 0
Contoh
2 : Tentukan turunan dari fungsi parameter
berikut
2 : Tentukan turunan
dari fungsi parameterberikut
Jawab :
= 
= 
= 
= 
= 
Contoh
3 : Tentukan turunan dari fungsi parameter
berikut
3 : Tentukan turunan
dari fungsi parameterberikut
Jawab :
= = 
= = 
|
=
|
= 
=
=
=
Contoh
4 : Tentukan turunan dari fungsi implisit
berikut x3y2 + 2x2y – x3 + 1 = 0
4 : Tentukan turunan
dari fungsi implisitberikut x3y2 + 2x2y – x3 + 1 = 0
Jawab :
( x3y2 + 2x2y – x3+ 1) =
0
(3x2y2 + x32y
) + (4xy +2x2 . 1 ) – 3x2 = 0
) + (4xy +2x2 . 1 ) – 3x2 = 0( x32y + 2x2) = 3x2 – 3x2y2– 4xy
= 
……………………(1)
(3x2y2 + x32y
) + (4xy +2x2 . 1 ) – 3x2 = 0
) + (4xy +2x2 . 1 ) – 3x2 = 0
(3x2y2 + x32y ) + 2(2xy + x2 ) – 3x2 = 0
= (3(2xy2 + x2
2y) + (3x2 . 2y )) + x3(2.+ 2y ) + 2(2y + 2x ) +
2(2x + x2) – 6x = 0
2y
) + (3x2 . 2y )) + x3(2.+ 2y ) + 2(2y + 2x ) + 2(2x
+ x2) – 6x = 0
= (6xy2 + 6x2
y) + (6x2 y + 2x3()2 + (2yx3 ) + (4y + 4x ) + (4x + 2x2) – 6x = 0
y
) + (6x2 y + 2x3()2 + (2yx3 ) + (4y + 4x ) + (4x + 2x2) – 6x = 0
= (6x2y + 6x2y + 4x + 4x) + ()2 2x3 + (2yx3 2x2) + (6xy2 + 4y –
6x) = 0
(6x2y + 6x2y + 4x + 4x) + ()2 2x3 + (2yx3 2x2) + (6xy2 + 4y –6x) = 0
(2yx3 2x2) = – (12x2y + 8 x) – 2x3()2 – 6xy2 – 4y + 6x = 
……………………..(2)
Substitusikan persamaan 1 ke
persamaan 2 sehingga didapat :
persamaan 2 sehingga didapat :
= 
Latihan
Soal :
Soal :
1. Carilah 
dari :
dari :
a.
x2
+ y2 = 25
x2
+ y2 = 25
b.
y = ln t, x = et
y = ln t, x = et
c.
y =
, x = ln (et
+1)
y =
, x = ln (et+1)
2.
Carilah turunan ke n dari fungsi di bawah ini:
Carilah turunan ke n dari fungsi di bawah ini:
a.
b.
3.
Tentukan
turunan kedua dan ketiga dari fungsi f(x) =
Tentukan
turunan kedua dan ketiga dari fungsi f(x) =
4. Tentukan
turunan
dari fungsi implisit
berikut y = arc sin (x – y)
turunan
dari fungsi implisitberikut y = arc sin (x – y)
Jawaban Latihan Soal
1. Carilah dari :
dari :
a.
x2
+ y2 = 25
x2
+ y2 = 25
b.
y = ln t, x = et
y = ln t, x = et
c.
y =, x = ln (et
+1)
y =
, x = ln (et+1)
Penyelesaian :
a.
Turunan pertama dari= x2 + y2 =
25, yaitu
.
Turunan pertama dari
= x2 + y2 =25, yaitu
.
Karena 
Dan
mengingat y adalah fungsi dari x, dengan aturan pembagian dan
aturan rantai, diperoleh
mengingat y adalah fungsi dari x, dengan aturan pembagian dan
aturan rantai, diperoleh
Jadi 
b.
Turunan dari y = ln t,
x = et
Turunan dari y = ln t,
x = et
= 
= 
=
Oleh karena 
dan 
maka 
.
dan maka .
c.
Turunan dari y =
, x = ln (et
+1)
Turunan dari y =
, x = ln (et+1)
= 
= 
= 
= 
2.
Carilah turunan ke n dari fungsi di bawah ini:
Carilah turunan ke n dari fungsi di bawah ini:
a.
b.
Penyelesaian :
a. Turunan
ke-n adalah
ke-n adalah
b. Turunan
ke-n adalah
ke-n adalah
3.
Tentukan
turunan kedua dan ketiga dari fungsi f(x) =
Tentukan
turunan kedua dan ketiga dari fungsi f(x) =
Jawab : Dikerjakan Mahasiswa sebagai latihan soal
4. Tentukan
turunan dari fungsi implisit
berikut y = arc sin (x – y)
turunan
dari fungsi implisitberikut y = arc sin (x – y)
Jawab
: Dikerjakan Mahasiswa sebagai latihan soal
: Dikerjakan Mahasiswa sebagai latihan soal